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Eigenwerte orthogonaler Abbildung immer 1 oder -1
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Lineare Abbildungen
 
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Hallo, kann mir jemand vll einen Beweis zeigen, dass orthogonale Abbildungen immer als Eigenwerte 1 oder haben? |
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Das kann icht nicht. Schon deshalb, weil orthogonal ist |
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Ja aber das gitl doch, oder? |
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Welche Eigenwerte hat denn die von mir angegebene Matrix? |
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Diese Matrix besitzt keine reellen Eigenwerte, da das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt: aber es geht hier ja nicht nur um eine orthogonale Matrix, sondern um eine orthogonale Abbildung! |
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Ah, damit ändert sich deine Fragestellung grundlegend und der Beweis wird trivial (einfach die Definition der auftretenden Begriffe hinschreiben): Sei ein reeller Vektorraum mit Sklarapridukt und der Endomorphismus sei orthogonale; sei Eigenvektor zum Eigenwert . Dann gilt oder . Beweis: Es ist Def.von orthogonal mit dem einzigen in der Aufgabe auftretenden Vektor Definition von Eigenvektor und -wert Bilinearität des Skalarproduktes Wegen folgt |
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super! dankeschön :-) |
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