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Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3x3-Matrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Lineare Algebra, Matrix

me1234 aktiv_icon

17:41 Uhr, 10.08.2019

Hallo, folgende Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix

A = (\begin{matrix} 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix})

.
1. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A.
2. Ist A invertierbar? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der Eigenwerte.

Hier mein Lösungsweg:

A \cdot \vec{x} = λ \cdot \vec{x}

\Rightarrow A \cdot \vec{x} - λ \cdot E \cdot \vec{x} = \vec{0}

\Rightarrow (A - λ \cdot E) \cdot \vec{x} = \vec{0}

Also

det (A - λ \cdot E) = 0

setzen.

(A - λ \cdot E) = (\begin{matrix} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 0 & 2 - λ & 0 \\ - 1 & 0 & 1 - λ \end{matrix})

\Rightarrow - λ^{3} + 6 λ^{2} - 10 λ + 4 = 0

Durch Ausprobieren findet man

λ_{1} = 2

Durch Polynomdivision ergibt sich

- λ^{2} + 4 λ - 2

und mithilfe der pq-Formel

λ_{2} = 2 + \sqrt{2}

und

λ_{3} = 2 - \sqrt{2}

Also sind die Eigenwerte der Matrix A

λ_{1} = 2

λ_{2} = 2 + \sqrt{2}

λ_{3} = 2 - \sqrt{2}

Zur Probe: Die Summe der Hauptdiagonale der Matrix muss gleich der Summe der Eigenwerte sein. Das ist gegeben, da

3 + 2 + 1 = 6

und

λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 6

Jetzt also zu den Eigenvektoren. Und da ist auch der Hauptgrund meiner Frage, ob man das so lösen kann.

Eigenvektor für

λ = 2

(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = \vec{0}

Da alle Gleichungen den Nullvektor ergeben müssen, kann ich auch das Kreuzprodukt zweier Vektoren nehmen (kann ich doch, oder?)
Also

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Für

λ = 2 + \sqrt{2} : (\begin{matrix} 1 - \sqrt{2} \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ - \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \sqrt{2} \\ 0 \\ 2 - \sqrt{2} \end{matrix})

Für

λ = 2 - \sqrt{2} : (\begin{matrix} 1 + \sqrt{2} \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \\ 2 + \sqrt{2} \end{matrix})

Zum Überprüfen habe ich mir mal die Eigenwerte und -vektoren online ausrechnen lassen. Die Eigenwerte sind identisch, die Eigenvektoren jedoch nicht. Wenn ich mir aber die Vektoren zeichnen lasse, sieht man, dass die Vektoren nur eine verschiedene Länge haben (siehe Bild im Anhang,

D

und

B

sind die Vektoren aus dem Onlinerechner und

C

und

E

meine Lösung). Sehe ich das also richtig, dass ich einfach einen Faktor vor meine Eigenvektoren schreiben kann und die Lösung dann korrekt ist?

Also dann so:

λ = 2 : α \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

λ = 2 + \sqrt{2} : α \cdot (\begin{matrix} - \sqrt{2} \\ 0 \\ 2 - \sqrt{2} \end{matrix})

λ = 2 - \sqrt{2} : α \cdot (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \\ 2 + \sqrt{2} \end{matrix})

Wenn ich nämlich durch die jeweils größte Komponente meines Vektors teile, erhalte ich exakt die Vektoren des Onlinerechners. Oder sollte ich das Teilen durchführen und das

α

weglassen (oder Teilen, aber

α

da lassen)?

Zum Abschluss dann noch Aufgabenteil 2: Die Matrix ist invertierbar, weil alle Eigenwerte

\neq 0

sind, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Roman-22

18:12 Uhr, 10.08.2019

Im Gegensatz zu den Eigenwerten sind die Eigenvektoren ja nicht eindeutig.
Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenraum, der von einem beliebigen Eigenvektor zu diesem Eigenwert "aufgespannt" wird.
Anders ausgedrückt - wenn du für einen Eigenwert "einen" (nicht "den") Eigenvektor gefunden hast, so ist jedes Vielfache mit Ausnahme des Nullfachen) dieses Vektor ebenfalls ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert.
Wenn du also deine Lösung mit einem Rechnerergebnis vergleichst, könnte der Faktor, den du