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Eigenwerte und Eigenvektoren falls AB = BA

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Diagonalisierbarkeit, Eigenvektor, Eigenwert, kommutativ

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18:21 Uhr, 16.05.2017

Aufgabe
Es seien A,B

\in R^{n x n} .

Die Matrix A habe n paarweise verschiedene relle Eigenwerte. Weiter gelte AB = BA. Zeigen sie:
a) Zu jedem Eigenwert

λ

von A existiert ein (reeller) Eigenvektor v

\in R^{n} .

b) Jeder Eigenvektor von A ist auch ein Eigenvektor von B.

c) Es existiert eine invertierbare Matrix

C \in R^{n x n},

sodass sowohl

C^{- 1} A C

als auch

C^{- 1} B C

Diagonalmatrizen sind.

d) Zeigen Sie mit einem einfachen Gegenbeispiel, dass b) (und damit auch c)) nicht gilt, falls A einen Eigenwert mit algebraischer Multiplizität 2 hat.

Hey, ich stehe grad vor dieser etwas theorielastigen Frage und komme nicht so recht weiter.
Bei a) dachte ich mir, dass die Existenz eines Eigenvektors ja schon durch die Definition des Eigenwerts gegeben ist, denn der Eigenvektor stellt ja den Kern der Matrix

A - λ \cdot I

dar und

λ

wird genau so gewählt, dass die Determinante dieser Matrix = 0 wird. Somit ist die Matrix singulär und der Kern ist nicht mehr trivial. Nun bin ich mir aber nicht sicher, dass das ein gültiger Beweis ist und nicht eher einfach nur so dahergelabert.

Für b) habe ich mir erst überlegt, für welche Matrizen denn AB = BA überhaupt gelten kann. Dies gilt z.B. ja, wenn wie in c) gefragt die Matrix auf diese Art und weise diagonalisierbar ist. Eine weitere Möglichkeit ist, dass A oder B ein vielfaches der Einheitsmatrix ist. Die letzte Möglichkeit die mir in den Sinn gekommen ist, wäre A = B.

Wenn man nun A und B in Diagonalform bringt, dann muss AB =

P J a J b P^{- 1}

gelten, wobei P die Transformationsmatrix und J die jeweilige Diagonalmatrix ist.
Da Ja und Jb in Diagonalform vorliegen kommutieren sie, also gilt BA =

P J b J a P^{- 1} .

Da beide die gleiche Transformationsmatrix verwenden und diese aus den Eigenvektoren besteht, müssen beide die selben Eigenvektorn haben. Ist durch AB = BA diagonalisierbarkeit eindeutig gegeben?

c) Habe ich im Prinzip ja oben gerade verwendet

d) Wenn A einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 hat, dann gibt es eventuell nicht n linear unabhängige Eigenvektoren und die Matrix ist nicht mehr diagonalisierbar sondern nur z.B. als Jordan Normalform darstellbar.

Ich hoffe das ist jetzt nicht zu viel und schonmal vielen Dank für jede Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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19:55 Uhr, 16.05.2017

"Bei a) dachte ich mir, dass die Existenz eines Eigenvektors ja schon durch die Definition des Eigenwerts gegeben ist"

Und das ist richtig. Teil a) ist keine richtige Aufgabe.

"Für b) habe ich mir erst überlegt, für welche Matrizen denn AB = BA überhaupt gelten kann."

Das ist irrelevant. Du kannst einfach direkt argumentieren:

A v = λ v

B (v) = \frac{1}{λ} B (λ v) = \frac{1}{λ} B (A v) = \frac{1}{λ} B A v = \frac{1}{λ} A B v = \frac{1}{λ} A (B (v))

. Damit ist

B (v)

auch ein Eigenvektor von

A

. Und da der Eigenraum zu

λ

eindimensional ist, folgt

B (v) = μ v

mit einem

μ

. Daher ist

v

ein Eigenvektor von

B

.

Hier muss man nur den Fall

λ = 0

extra betrachten.

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19:57 Uhr, 16.05.2017

"Ist durch AB = BA diagonalisierbarkeit eindeutig gegeben? "

Keine Ahnung, was Du damit meinst.
Aber Deine Argumentation von oben ist verkehrt.
Du musst umgekehrt b) nutzen, um c) zu beweisen. Was allerdings einfach ist. Du diagonalisierst eine Matrix, zweite wird automatisch "mitdiagonalisiert".

michaL aktiv_icon

19:57 Uhr, 16.05.2017

Hallo,

ich finde auch, dass a) nicht der Rede wert ist.

Bei b) kann man die Bedingung

A B = B A

geschickt in die Eigenwertrechnung einbringen. Sei dazu

λ

ein Eigenwert (EW) von

A

v

ein Eigenvektor (EV) zum EW

λ

von

A

, d.h. es gelte

A v = λ v

.
Dann gilt:

λ (B v) = B (λ v) = B (A v) = (B A) v = (A B) v = A (B v)

Diese Gleichungskette mal nur mit den wesentlichen beiden Enden:

λ (B v) = A (B v)

oder mit der Substitution

w := B v

λ w = A w

Dies bedeutet, dass auch

w = B v

ein EV zum EW

λ

von

A

ist, d.h.

v

und

w

sind linear abhängig, d.h. es gilt

w = B v = μ v

für ein geeignetes

μ

.
Und damit hast gezeigt, dass

B

die gleichen Eigenvektoren hat wie

A

. (Die Eigenwerte müssen aber nicht gleich sein.)

Alles klar soweit?

Mfg Michael

DrBoogie aktiv_icon

19:58 Uhr, 16.05.2017

"Wenn A einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 hat, dann gibt es eventuell nicht n linear unabhängige Eigenvektoren und die Matrix ist nicht mehr diagonalisierbar sondern nur z.B. als Jordan Normalform darstellbar. "

Richtig, aber Du brauchst ein konkretes Beispiel.

Krautsultan aktiv_icon

21:23 Uhr, 16.05.2017

Wow, vielen Dank für die Antworten! Ich glaub ich kann so ziemlich alles davon nachvollziehen.

Reicht es denn als Gegenbeispiel eine beliebige 3x3 Matrix zu nehmen, die eben einen Eigenwert mit alg. Vielfachheit 2 und geometrischer Vielfachheit 1 hat und darum nur 2 Eigenvektoren und eben keine Diagonal besitzt? Dann wäre die Matrix nicht mehr diagonalisierbar und es gibt keine gemeinsame Matrix C. Nur inwiefern beweise ich damit, dass B nicht die selben Eigenvektoren wie A hat?

DrBoogie aktiv_icon

21:38 Uhr, 16.05.2017

Du musst schon zwei Matrizen präsentieren,

A

und

B

, und zwar solche, dass

A B = B A

.
Und dann auch ihre Eigenwerte angeben. Also da ist schon ein Stück Arbeit, das auf Dich wartet. :-)

Krautsultan aktiv_icon

18:03 Uhr, 17.05.2017

Hey, ich versuche jetzt schon eine ganze Weile zwei Matrizen für den Aufgabenteil d) zu finden.

Wenn ich nun

A

als beliebige Matrix mit einem Eigenwert alg. Vielfachheit 2 wähle, dann sind doch die einzigen Möglichkeiten für AB = BA, dass

A = B, B = A^{- 1}

oder

B = c I

.
Im ersten Fall haben beide auf jeden Fall die selben Eigenvektoren. Beim zweiten Fall sind die Eigenvektoren natürlich auch identisch, da, wenn

λ

ein Eigenwert von

A

zum Eigenvektor

x

ist,

λ^{-} 1

ein Eigenwert von

A^{- 1}

zum Eigenvektor

x

ist. Und da jeder Vektor ein Eigenvektor der Einheitsmatrix ist, weiß ich langsam nicht mehr weiter.
Übersehe ich etwas sehr offensichtliches?

michaL aktiv_icon

20:27 Uhr, 17.05.2017

Hallo,

wie du ja nun schon weißt, solltest du für

A

eine Matrix mit doppeltem Eigenwert nehmen, genauer: eine, die nur Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert hat (in

ℝ^{2}

).
Da bleiben gar nicht soo vile Kandidaten, vor allem, wenn du eine von einfacher Form hernimmst (Wieso keine in Diagonalform?!).

B

sollst du dann so wählen, dass

A B = B A

gilt, was bei geeigneter Wahl von (s.o.) aber keine Einschränkung ist. Bloß darf halt

B

keinen zweidimensionalen Eigenraum zu einem Eigenwert haben. Schon an Jordanmatrizen gedacht?

Mfg Michael

Krautsultan aktiv_icon

20:35 Uhr, 17.05.2017

Ok, ich sehe nun meinen Fehler. Ich habe die ganze Zeit bei B an eine Diagonalmatrix gedacht und da wäre natürlich jeder Eigenvektor von A ein Eigenvektor von B, wenn es nun jedoch anders rum ist, gilt das natürlich nicht mehr. Da hätte ich wohl vermutlich ein wenig präziser lesen müssen.
Danke für den Denkanstoß!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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