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Ein Dreieck aus einer Holzplatte rausschneiden!
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Extremwertaufgaben, Leistungskurs, Mathematik
 
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Wie immer habe ich eine Aufgabe und ich weiß nicht wie ich an sowas gehen soll! Kann mir jemand neben der Lösung vielleicht eine grundsätzliche Methode sagen wie man solche Aufgaben löst? Hier die Aufgabe: Aus einer Holzplatte (Fig.), die die Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Seiten c=60cm und a= 50cm hat, soll ein möglichst großes rechteckiges Brett herausgeschnitten werden. Wieviel Prozent Abfall entstehen. Also zuerst muss man ja herausfinden wann das Rechteck am größten ist aber ich weiß es nicht.. :(  |
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Hi Schau erstmal hier, klingt ja ziemlich ähnlich: www.matheraum.de/read?t=178372 Lg |
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ja danke.. die antwort ist schon gut, aber hast du vielleicht eine andere Methode als die mit dem 2. Strahlensatz? Wenn ja würde ich die gerne wissen weil wir im Unterricht damit nicht arbeiten! Lg Chief Mendez |
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Hallo also zunächst erst einmal zur allgemeinen Herangehensweise. Du liest dir die Aufgabe durch und entdeckst in diesem Fall, dass du die maximale Fläche eines Rechteckes ermitteln sollst. Dann schreibst du dir die Formel auf, in diesem Fall das Produkt der beiden Seitenlängen, wobei du für beide keinen Wert hast. Daneben notierst du dir die gegebenen Größen, in diesem Fall die Seitenlängen des Dreiecks. Jetzt kommt die eigentliche Kernarbeit: Du ersetzt die Unbekannten in der Formel durch die gegebenen Größen so, dass du in der Formel nur noch eine Unbekannte hast, nach der du dann ableiten kannst. Dies geschieht häufig durch Winkelbeziehungen, wobei jedoch oft auch geistige Arbeit gefragt ist (siehe Aufgabe Cornet von letzter Woche). Diese Aufgabe kannst du natürlich auch anders als mit dem Strahlensatz lösen. Es ist jedoch sehr ähnlich und man kommt selbstverständlich auch auf dasselbe Ergebnis. Ich bezeichne die Seiten des Rechteckes mit y und z (wobei y die lange Seite ist). Genau wie in der Beispielaufgabe ist x das Stück des Dreiecks auf der Seite c, das weggeschnitten wird. Die Basiswinkel des Dreiecks sollen alpha heißen. Die Formel zur Flächenberechnung des Rechteckes heißt somit: A=y*z Das y kann, wie in der Vorlage beschrieben, durch y=c-2x=60-2x ersetzt werden. Muss nur noch die Seite z durch gegebene Größen ausgedrückt werden. Zunächst kann ich mit einer Dreiecksbeziehung herangehen: z=x*tan(alpha) wobei jedoch tan(alpha) noch unbekannt ist. (x soll die Unbekannte sein, nach der abgeleitet wird, da sie bereits in der Formel für y enthalten ist. Sie muss/kann somit auch in dem Ausdruck für die Seite z bestehen bleiben.) tan(alpha) kann ich jedoch einfach mit den gegebenen Seiten berechnen, denn tan(alpha) ist ja auch gleich der Höhe der Seite c durch die Hälfte der Seite c. tan(alpha)=hc/(c/2)=hc/30 Ich kann also tan(alpha) in der Formel für z durch diesen Ausdruck ersetzen: z=x*hc/30 Hier hab ich jetzt noch hc in der Formel stehen, was unbedingt noch ersetzt werden muss. Dies könnte ich beispielsweise über den Pythagoras erreichen: hc=sqrt(a²-(c/2)²)=sqrt(50²-30²)=40 Daher habe ich für die Seite z: z=x*40/30 Dies ist die Berechnung, die auch über den Ansatz des Strahlensatzes ermittelt wurde. Am Ende möchte ich nur noch auf eines hinweisen: In dem Beispiel wurde zwar die Fläche ermittelt, du hast jedoch nach dem Abfall in Prozent gefragt. |
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| Ja danke für die Hilfe, aber wo du von geistiger Arbeit redest: Ich komme einfach nicht auf derartige Ansätze und ich weiß dann auch nicht wie ich die Sache anpacken soll. Das ist ein echtes Problem. |
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Tja, eine Formel für die Ermittlung der Ansätze gibt es leider nicht. Da ist im Prinzip nur Übung, Willenskraft und Durchhaltevermögen gefragt. Wenn du aus einem ebenen Gebilde ein maximales/minimales ebenes Problem lösen sollst, geht das (so gut wie) immer über Dreiecke. Leg dir also ein Tafelwerk mit den Formeln für Dreiecke daneben und überlege, welche Formel du brauchst, um die beiden Gebilde in Beziehung zu setzen. Häufig sind Winkelbeziehungen (sin, cos, tan) oder der Satz des Pythagoras eine Möglichkeit zur Problemlösung. Sollst du aus ebenen Gebilden einen maximalen/minimalen (Volumen)Körper ermitteln (siehe Zeltproblem oder Cornet), so sind es auch meist die oben genannten Dreiecksberechnungen, die zum Ziel führen. Hier kommt jedoch dazu, dass aus den gegebenen Größen des ebenen Gebildes Beziehungen zum Körper hergestellt werden müssen. Das soll heißen: Wo finde ich die gegebenen Größen am Körper wieder. Bei diesen Problemen kann man zur Verdeutlichung am Anfang eventuell das ebene Gebilde auf Papier zeichnen, ausschneiden und zusammenfalten oder -walzen. Bei den oben beschriebenen rein ebenen Problemen macht man am besten eine Skizze. Wenn du keinen Ansatz findest, dann versuch zuerst das Problem rückwärts zu lösen (d.h. welche Unbekannten in der Gleichung kann ich wie auf die gegebenen Größen zurückführen) und danach versuchst du es vorwärts zu lösen (d.h. wie könnte ich mit den gegebenen Größen die Unbekannten ausdrücken). Man bekommt dann ein Gespür dafür, über welche Formel und welche Ecke der Gebilde man gehen muss, um das Problem zu lösen und braucht dann nur noch die passende Formel. Ich hoffe, das hilft dir weiter. Viel Erfolg. |
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| Ja danke deine Antwort hat mir geholfen ich denke es braucht auch etwas zeit bis man sich an diese Art von Arbeit gewöhnt hat und es bedarf an einer Menge Übung... nur zu dumm das ich nächsten Donnerstag schon meine erste Klausur schreibe:.. ^^ |
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