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Ein regelmäßiger Würfel wird n-Mal geworfen...

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: laplace, Wahrscheinlichkeit

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16:15 Uhr, 28.01.2019

Hallo,

ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, die eigentlich nicht so schwer sein sollte, jedoch möchte ich diese ohne Baumdiagramm lösen können, was mir jedoch nicht gelingt.
Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein regelmäßiger Würfel wird 5 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass...

a)

jedes Mal eine 1 geworfen wird?

b)

genau drei 1-er geworfen werden?

c)

genau fünf unterschiedliche Zahlen geworfen werden?

d)

die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge geworfen werden?

Meine Ansätze:

a)

Hier nimmt man die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 gewürfelt wird

\frac{1}{6}

und multipliziert diese 5-mal mit sich selbst:

{(\frac{1}{6})}^{5} = \frac{1}{6^{5}} = \frac{1}{7776}

b)

Die wahrscheinlichkeit für genau drei 1-er ist

{(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{2} \cdot x

Nun gibt es verschiedene Möglichkeiten, genau drei 1-er zu würfeln, doch wie komme ich auf die Anzahl dieser Möglichkeiten?

c)

Hier das gleiche Problem: Ich weiß wie man die Wahrscheinlichkeit für genau fünf unterschiedliche Zahlen brerechnet:

{(\frac{1}{6})}^{5}

jedoch muss ich das ja auch wieder mit der Anzahl Möglichkeiten multiplizieren. Wie finde ich diese heraus?

d)

Auch hier wieder,

{(\frac{1}{6})}^{5} \cdot x -

wie komme ich auf das x? Muss ich mir alle Möglichkeiten aufschreiben?

Tut mir leid, falls die Frage zu trivial sein sollte, jedoch möchte ich wissen, wie ich auf die Lösung komme, ohne mit riesige Bäume aufmalen zu müssen oder alle Kombinationen aufzuschreiben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:24 Uhr, 28.01.2019

b) x = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})

Bernoullikette!

c) {(\frac{1}{6})}^{5} \cdot 5!

d)Es gibt nur eine aufsteigende Reihenfolge:

1,2,3,4,5

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16:31 Uhr, 28.01.2019

Danke für die Antwort.

bei

c),

wie kommt

5!

zustande?

12345, 12354, 12435, 23456 . .

. Das sind ja super viele Möglichkeiten. Wie weiß ich dass das

5!

sind?

zu

d)

Hier sind auch

12345, 23456, 13456 . .

. richtig, daher gibt es nicht nur eine aufsteigende Reihenfolge.

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17:03 Uhr, 28.01.2019

Sorry, mir ist ein dummer Denkfehler unterlaufen.

c) (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{5} \cdot 5!

5! =

Anzahl der Möglichkeiten, 5 Zahlen anzuordnen (Reihenfolge)

d)

Wegen des Denkfehlers muss ich nochmal neu nachdanken.

anonymous

17:57 Uhr, 28.01.2019

Hallo
zu

d)

Viel schneller, als irgendwie Formeln zu rechnen, onlinemathe-threads zu schreiben, oder 7 Helfer zu fragen:
Schreib doch mal alle Möglichkeiten auf ein Blatt Papier...

Roman-22

18:42 Uhr, 28.01.2019

Zwei Vorschläge zu

c)

(fünf unterschiedliche Augenzahlen) ohne unsicher in fertige Formel einzusetzen oder an Bäumchen zu denken:

1)

Der erste Wurf ist egal und kann irgend etwas sein.
Der zweite Wurf darf nur nicht wieder die erste Zahl sein, sondern eine der fünf anderen. Dafür ist die WKT

\frac{5}{6}

Der dritte Wurf darf weder die erste, noch die zweite Zahl wiederholen, muss also aus den verbleibenden vier stammen

\to

WKT

\frac{4}{6}

Analog muss der vierte Wurf eine der drei verbleibenden Zahlen zeigen

\to

WKT

\frac{3}{6}

und für den fünfte Wurf bleiben nur mehr zwei Möglichkeiten

\to

WKT

\frac{2}{6}

Insgesamt ergibt sich damit für

c)

die Lösung

\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = ... \approx 9,26 %

oder

2)

durch abzählen aller gleichwahrscheinlichen Möglichkeiten:
Insgesamt kann man (unter Berücksichtigung der Reihenfolge)

6^{5}

unterschiedliche Serien von Zahlen würfeln. Zählen wir nun, welche davon "günstig" sind, also lauter verschiedene Zahlen enthalten. Um eine solche günstige Serie aufzuschreiben, könnten wir uns im ersten Schritt für jene Zahl entscheiden, die NICHT in der Serie auftritt

\to 6

Möglichkeiten.
Dann interessiert uns, auf wie viele Arten wir die 5 Zahlen, die nun übrig sind, anordnen können. Die kleinste davon kann auf einen beliebigen der 5 Plätze platziert werden, die nächste nur mehr auf

4,

usw. bis die letzte Zahl auf den einzig verbleibenden Platz muss. Wir haben also

5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

Möglichkeiten

(= 5! =

Permutation von 5 Elementen).
Somit haben wir insgesamt

6 \cdot 5!

"günstige" Möglichkeiten zu

6^{5}

Möglichkeiten insgesamt.
Die WKT von

c)

ist also

\frac{6 \cdot 5!}{6^{5}} = ... \approx 9,26 %

Was

d)

anlangt, so geht aus der Angabe nicht klar hervor, ob die Augenzahlen streng monoton steigen oder bloß monoton steigend sein sollen.
Es geht also um die Entscheidung, ob

2 - 2 - 3 - 3 - 6

eine gültige Wurfserie ist oder nicht.
Falls es streng monoton steigend sein soll (die obige Serie also ungültig ist), dann schließe ich mich 11en#s Vorschlag an - schreib dir die paar Möglichkeiten einfach auf oder überlege dir, dass dann

d)

ja nur eine zusätzliche Einschränkung von

c)

ist.
Falls es aber nur monoton steigend sein soll, würde ich nicht unbedingt empfehlen, alle

252

Möglichkeiten aufzumalen, wenngleich das trotzdem auch eine Möglichkeit wäre, die Aufgabe zu lösen.

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19:30 Uhr, 28.01.2019

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, das hat mir wirklich weitergeholfen!

Ich gehe nun vom streng monotonen Fall aus, wobei ich beim Aufschreiben auf 6 mögliche Kombinationen gekommen bin. Somit habe ich eine Wahrscheinlichkeit von

\frac{6}{6^{5}}

≈

0.0007716

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19:31 Uhr, 28.01.2019

\frac{6}{6^{5}}

≈

0.0007716

Roman-22

19:37 Uhr, 28.01.2019

>

wobei ich beim Aufschreiben auf 6 mögliche Kombinationen gekommen bin.
Richtig!
Im streng monotonen Fall müssen zwangsläufig fünf verschiedene Zahlen auftreten,

d . h

. genau eine der sechs Zahlen tritt NICHT auf. Dafür gibt es 6 Möglichkeiten und jede davon kann nur auf genau eine Art so angeordnet werden, dass die Zahlen aufsteigend sind. Also gibts nur 6 mögliche Fälle.
Im Falle von nicht streng monoton würde ich auf die Formel (ja, hier doch) für Kombinationen mit Wiederholung zurück greifen. Es gibt

(\begin{matrix} 6 + 5 - 1 \\ 5 \end{matrix}) = 252

Möglichkeiten, fünf Zahlen aus den sechs möglichen (inkl. Whg.) zu wählen und jede dieser

252

Möglichkeiten kann nur auf eine einzige Art so angeordnet werden, dass die Zahlen monoton steigend sind. WKT also

\frac{252}{6^{5}} = \frac{7}{216} \approx 3,24 %

1457301

1457256

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