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Ein- und Ausschlussprinzip

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrscheinlichkeitsraum

Miauda

10:32 Uhr, 18.10.2024

Kann mir jemand bei dem Beweis helfen. Das ist mir bei a so trivial dass ich gar nicht weiß wie man das beweisen soll…

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

calc007

10:43 Uhr, 18.10.2024

anschaulich vielleicht im Venn-Diagramm...

HAL9000

11:01 Uhr, 18.10.2024

Oftmals ist man geneigt Aussagen als "trivial" abzutun, weil man dann doch nicht weiß, wie man sie korrekt begründet.

Inhaltlich mag ja nicht viel passieren im Induktionsschritt des Beweises von (b). Aber es ist dennoch eine gute Übung im Umgang mit den diversen Operatoren und Mengenverknüfungen, dass sauber zu Papier zu bringen. ;-)

Fangen wir mal an: Die Aussage für

n = 2

sollte bekannt sein, d.h.

P (U \cup V) = P (U) + P (V) - P (U \cap V)

, falls nötig, dann beweise auch die noch. (*)

Im Induktionsschritt

n \to n + 1

geht man naheliegenderweise so vor: Man wendet (*) auf

U = ⋃_{i = 1}^{n} A_{i}

sowie

V = A_{n + 1}

an und bekommt zunächst

P (⋃_{i = 1}^{n + 1} A_{i}) = P (U \cup V) = P (U) + P (V) - P (U \cap V) = P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) + P (A_{n + 1}) - P ((⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \cap A_{n + 1})

Nun, für den ersten Summanden wenden wir die Induktionsvoraussettzung an, klar. Beim letzten formen wir zunächst noch etwas um:

(⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \cap A_{n + 1} = ⋃_{i = 1}^{n} (A_{i} \cap A_{n + 1}) = ⋃_{i = 1}^{n} B_{i}

, sofern wir

B_{i} := A_{i} \cap A_{n + 1}

für

i = 1, \dots, n

setzen.

Jetzt wenden wir auch für das entstehende

P (⋃_{i = 1}^{n} B_{i})

die Induktionsvoraussetzung an. Dann alles aufschreiben, die Terme reorganisieren und evtl. reindizieren, dann steht die Induktionsbehauptung da.

Miauda

11:02 Uhr, 18.10.2024

Muss leider ein formeller Beweis sein, rein logisch ist mir schon klar warum das so ist…

Miauda

11:54 Uhr, 18.10.2024

@HAL9000
vielen Dank für die schnelle Antwort!! Ich blicke da aber leider immer noch nicht ganz durch und komme nicht auf die Behauptung.IA verstehe ich richtig dass du das mit n=2 gemacht hast? Und dann sehe ich noch den IS wo drauf Bi kommst aber das dann der IV einsetzen und umformen…?vielleicht denke ich gerade einfach zu kompliziert…

HAL9000

13:41 Uhr, 18.10.2024

Wenn du nicht darlegst, woran genau du scheiterst, kann ich dir auch nicht weiter helfen. Nur zu sagen "ich komme nicht auf die Behauptung" ist unzureichend.

Außerdem wäre es hilfreich, wenn du dich in verständlichen Sätzen äußerst. Ein Satz wie "Und dann sehe ich noch den IS wo drauf Bi kommst aber das dann der IV einsetzen und umformen" ist würdeloses Gestammel, auf das ich nicht eingehe.

Miauda

17:10 Uhr, 19.10.2024

Hast Recht,hier nochmal:-)

So weit komme ich, aber ich kann mir nicht erklären wie man das abkürzen kann. Geht vermutlich um den Teil, der n+1 enthält und den, der nur bis n geht. Wie ich das aber umschreiben muss, verstehe ich nicht.

HAL9000

17:31 Uhr, 19.10.2024

Ja, das mit dem Einsetzen sieht schon gut aus. In der hinteren Summe würde ich etwas umindizieren (von

k

j

, und von

I

J

) - du wirst später hoffentlich sehen, wozu das gut ist:

= \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n} : ∣ I ∣ = k} P (⋂_{i \in I} A_{i}) + P (A_{n + 1}) - \sum_{j = 1}^{n} {(- 1)}^{j + 1} \sum_{J \subseteq {1, \dots, n} : ∣ J ∣ = j} P (⋂_{i \in J} A_{i} \cap A_{n + 1})

Jetzt machen wir dort folgendes: Zu Indexmenge

J

fügen wir Zahl

n + 1

an und nennen das

I

, d.h., es ist

I := J \cup {n + 1}

. Desweiteren sei

k = j + 1

dann die Mächtigkeit dieser vergrößerten Indexmenge

I

, wir können daher (unter Berücksichtigung

- {(- 1)}^{j + 1} = {(- 1)}^{k + 1}

) schreiben

= \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n} : ∣ I ∣ = k} P (⋂_{i \in I} A_{i}) + P (A_{n + 1}) + \sum_{k = 2}^{n + 1} {(- 1)}^{k + 1} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n, n + 1} : ∣ I ∣ = k \land n + 1 \in I} P (⋂_{i \in I} A_{i})

.

Desweiteren entspricht

P (A_{n + 1})

dem Summandenterm für

k = 1

der hinteren Summe, d.h. es ist

= \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n} : ∣ I ∣ = k} P (⋂_{i \in I} A_{i}) + \sum_{k = 1}^{n + 1} {(- 1)}^{k + 1} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n, n + 1} : ∣ I ∣ = k \land n + 1 \in I} P (⋂_{i \in I} A_{i})

.

Jetzt denk mal scharf nach, was das mit der Induktionsbehauptung zu tun hat.

EDIT: Vielleicht noch ein Hinweis mit dem Zaunpfahl. Den Summationsbereich der Mengen

I

in der ersten Summe

I \subseteq {1, \dots, n} : ∣ I ∣ = k

kann man äquivalent schreiben als

I \subseteq {1, \dots, n, n + 1} : ∣ I ∣ = k \land n + 1 \notin I

Miauda

14:08 Uhr, 20.10.2024

Wow das war super erklärt, vielen lieben Dank!!

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann kommt man auf die Behauptung, denn:

Der gelbe Teil repräsentiert die Vereinigung der ersten n Mengen A1,…,An und diese Kombinationen werden in der Vereinigung mit
An+1 (gelber und grüner Teil) bereits vollständig abgedeckt. Deshalb können wir den gelben Teil weglassen, da er redundant wird, sobald An+1 in Betracht einziehen

Eine kleine Frage noch zu dem k^n+1 weil ich das nicht einfach übernehmen möchte. Soll das ein Tippfehler sein, kann mir gerade nicht erklären warum n+1 im Exponenten sein soll:-)

HAL9000

14:51 Uhr, 20.10.2024

Herrje, wie kann man das so missverstehen??? Es geht dort nicht um eine Potenz, das

\land

ist das Zeichen für ein logisches UND:

de.wikipedia.org/wiki/Konjunktion_(Logik)

Ok, schreibe ich es nochmal mit zusätzlicher Klammerung der logischen Aussagen:

I \subseteq {1, \dots, n, n + 1} : (∣ I ∣ = k) \land (n + 1 \notin I)

P.S.: Wenn ich eine Potenz meine, dann schreibe ich

k^{n + 1}

, verdammt noch mal. :(

Miauda

15:19 Uhr, 20.10.2024

Oh Gott wie habe ich es geschafft daraus einen Exponenten zu machen… nochmals danke für die Zeit!

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