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Eindeutigkeit bei LR-Zerlegung

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Tags: eindeutig?, invers, LR-Zerlegung, LU-Zerlegung, Numerik, regulär, Singulär

hilfeeee aktiv_icon

23:20 Uhr, 27.04.2020

Zeigen Sie: Wenn

det (A)

≠

0,

dann sind

L

und

R

in der LR–Zerlegung von

P \cdot A

eindeutig

(P

fest). Kann man auf

det (A)

≠ 0 verzichten?
Kann mir jmd weiterhelfen? Ich weiß nicht wo ich anfangen soll und im Internet lässt sich eigentlich zu einer LR-Zerlegung mit Pivotsuche nichts finden.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

11:13 Uhr, 28.04.2020

Hallo,

die Aufgabe ist einfach. Es hilft der (wie ich finde) Standardansatz für Eindeutigkeitsansätze:

(P A =) L_{1} R_{1} = L_{2} R_{2}

(seien zwei uU verschiedene Zerlegungen)

Erinnere dich bitte selbst:
* Welche Eigenschaft(en) haben

L_{1}

und

L_{2}

?
* Welche Eigenschaft(en) haben

R_{1}

und

R_{2}

?
* Welche Eigenschaften haben Inverse und Produkte von solchen Matrizen, die die Eigenschaften von

L_{i}

bzw.

R_{i}

haben?

Damit ist die Sache quasi erledigt.

Mfg Michael

michaL aktiv_icon

17:05 Uhr, 01.05.2020

Hallo,

schade, offenbar war kein wirkliches Interesse vorhanden.
Für die anderen:

(P A =) L_{1} R_{1} = L_{2} R_{2} \overset{}{\Leftrightarrow} L_{2}^{- 1} L_{1} = R_{2} R_{1}^{- 1}

L_{1}

und

L_{2}

sind untere Dreiecksmatrizen, ebenso deren Inverse und Produkte.
Analog für

R_{1}

und

R_{2}

sowie Inverse und Produkte.

Insbesondere muss die Matrix

L_{2}^{- 1} L_{1} = R_{2} R_{1}^{- 1}

sowohl obere als auch untere Dreiecksmatrix sein.
Also ist sie eine Diagonalmatrix.
Schaut man sie sich genauer an, so sieht man, dass wegen der Einsen auf den Diagonalen der

L_{i}

das Produkt

L_{2}^{- 1} L_{1}

wieder nur Einsen auf der Diagonalen haben kann (hierbei ist

\det (A) \neq 0

wesentlich).
Heißt also:

L_{2}^{- 1} L_{1} = E

, d.h.

L_{1} = L_{2}

und folglich auch

R_{1} = R_{2}

.

Damit folgt die Eindeutigkeit.

Für den Fall

\det (A) = 0

würde ich mir vermutlich ein Gegenbeispiel suchen.

Mfg Michael

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