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Eine Cauchyfolge ist eine konvergente Folge Beweis

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

GaussGauss aktiv_icon

17:57 Uhr, 29.11.2019

Hallo.

Ich möchte beweisen dass eine Cauchyfolge immer eine konvergente Folge ist.

Dazu habe ich folgenden Beweis durchgeführt. Leider bin ich im beweisen sehr schlecht. Könnt ihr mir sagen ob ich das so richtig gemacht habe?

Zz:
∀ ε

> 0

∃ N(ε) ∈

N : | a_{n} - a_{m} | <

ε ∀n,m

>

N(ε)

\Rightarrow

∀ ε

> 0

∃ N(ε)

: | a_{n} - a | <

ε ∀n

>

N(ε)

Bew:

Angenommen es existiert eine divergente Cauchyfolge

∀ ε

> 0

∃ N(ε) ∈

N : | a_{n} - a_{m} | <

ε und

a_{n} >

ε ∀n,m

>

N(ε)

Angenommen:

a_{m} = 0

\Rightarrow | a_{n} - 0 | <

ε und

a_{n} >

\Leftrightarrow | a_{n} | <

ε und

a_{n} >

ε

Angenommen:

a_{n} > 0

\Rightarrow a_{n} <

ε und

a_{n} >

\Rightarrow

Eine divergente Cauchyfolge kann nicht existieren

\Rightarrow

Alle Cauchyfolgen sind konvergent

Liebe Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:18 Uhr, 29.11.2019

Hallo,

Deine Formel nach "Angenommen es existiert..." verstehe ich nicht, ich sehe nicht, wieso dass eine Umformulierung der Widerspruchsannahme sein soll.

Im übrigen folgt die Konververgenz von Cauchy-Folgen nicht alleine aus der Cauchy-Eigenschaft; man muss bei Beweis wesentliche Eigenschaften von

ℝ

benutzen, zum Beispiel den Satz von Bolzano-Weierstrass.

Gruß pwm

GaussGauss aktiv_icon

18:25 Uhr, 29.11.2019

Eine divergente Cauchyfolge müsste doch die Voraussetzungen für die Cauchyfolge erfüllen und gleichzeitig divergieren

(a_{n} >

Epsilon) bzw.

a_{n}

kann einen beliebig großen Wert annehmen?

edit: typo

pwmeyer aktiv_icon

18:41 Uhr, 29.11.2019

Hallo,

meinst Du "divergieren" am Ende Deines Satzes?

"divergieren" kann bedeuten, dass

a_{n} \to \infty,

es kann aber auch bedeuten, dass

a_{n}

mehrere Häufungspunkte hat.

Gruß pwm

GaussGauss aktiv_icon

22:56 Uhr, 29.11.2019

Stimmt. Ich sehe den Fehler jetzt. Vielen Dank!

ledum aktiv_icon

00:47 Uhr, 30.11.2019

Hallo
das gilt nur in vollständigen Räumen, und die sind dadurch definiert dass jede Cauchfolge konvergiert!d,h, deine

a_{n}

sind aus

ℝ

nicht

z . B

aus

Q

deshalb ist da nichts zu beweisen .
beweisen kannst du dass jede konvergente Folge ein Cauchyfolge ist,
Gruß ledum

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