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Einfach Zusammenhängend
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie
 
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Bezüglich konvexer Mengen und dem Begriff "einfach zusammenhängend" hätte ich zwei Fragen. Man kann ja grob sagen das die Menge immer konvex ist und damit ja auch einfach zusammenhängend ist, das heißt, dass jede konvexe Menge automatisch einfach zusammenhängend ist? Speziell zu eine Aufgabe hätte ich dann noch zwei Fragen. ∈ \(0, ∈ Ein Kreis mit dem Radius mit dem Ursprung wäre nicht konvex, da der Ursprung ja aus der Menge ausgeschlossen wurde? Der Kreis mit dem Radius mit dem Ursprung wäre dann ja konvex, da ja jeder Punkt innerhalb dieses Kreises auch in der Menge ist? Kann man sich so die Begriffe konvex und einfach zusammenhängend erklären? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Niemand eine Idee dazu? |
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Hossa :-) Wenn du aus einer Menge zwei belibeige Punkte auswählen kannst und diese Punkte durch einen Weg verbinden kannst, der vollständig in liegt, heißt die Menge "konvex". Wenn du eine konvexe Menge hast und zusätzlich(!) alle möglichen Wege zwischen zwei beliebigen Punkten durch stetige Verformungen ineinander überführen kannst, ohne die Menge zu verlassen, heißt die Menge "einfach zusammenhängend". Diese Definition einer "einfach zusammenhängenden" Menge ist sehr unhandlich. Das kann man besser machen. Stell dir vor, du wählst als Start- und Endpunkt denselben Punkt. Dann sind alle möglichen Wege zwischen Start- und Endpunkt geschlossen. Der kürzeste Weg zwischen diesem Start- und Endpunkt ist der gewählte Punkt selbst. Das heißt, in einer "einfach zusammenhängenden" Menge musst du jeden geschlossenen Weg auf einen Punkt (dieses Weges) zusammenziehen können ohne(!) dabei die Menge zu verlassen. Das bedeutet, jede "einfach zusammenhängede" Menge ist auch "konvex". Aber nicht jede "konvexe" Menge ist auch "einfach zusammenhängend." Zu deiner Frage. Die Menge ist der ohne die -Achse. Für jeden Punkt in gibt es einen geschlossenen Weg in , der um die -Achse herumführt. Diesen Weg kannst du aber nicht auf den Punkt zusammenziehen, weil du durch die -Achse durch musst und dabei die Menge verlässt. Die Menge ist also nicht "einfach zusammenhängend". Sie ist aber "konvex", denn du wirst zwischen 2 beliebigen Punkten immer einen Weg finden, der nicht durch die -Achse verläuft. |
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Hallo, DerDepp verwechselt da wohl etwas. Er bezeichnet das, was man wegezusammenhängend nennt, konvex. Aber konvex bedeutet, dass man beliebige zwei Punkte der Menge durch eine gerade (!) Strecke innerhalb der Menge miteinander verbinden kann, nicht durch einen irgendwie gearteten Weg. Ich finde die Beispiele, die du zur Veranschulichung verwendest, sehr geeignet. Gruß ermanus |
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Vielen Dank für eure Antworten, haben mir sehr geholfen! Also muss man nur bei der Funktion beachten ob jeder innere Punkt auch in der definierten Menge liegt, dann wäre es konvex und auch einfach zusammenhängend richtig? Wie im Beispiel oben: wäre ja ausgeschlossen aber der Kreis oder eher gesagt die Kugel um einen anderen Mittelpunkt mit einem Radius, so dass die Kugel nicht trifft konvex und besitzt somit ein Potentialfeld auf dieser Menge? |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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