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Einfache Extremwertprobleme??

Schüler Kooperative Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Differantialrechnung, einfach, enxtremwertprobleme, Mathematik

Sariteeus aktiv_icon

20:15 Uhr, 22.11.2010

Hallo erstmal :-D)
ich habe folgendes Problem...
ich sollte als Hausaufgabe folgende Aufgabe Lösen:

Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse 6cm erzeugt bei Rotation um eine Kathete (die Hypotenuse) den Rotationskörper größten Volumens?

Das ganze sollen wir nun als einfaches Extremwertproblem behandeln, nur habe ich leider keine Ahnung was ich genau tun soll. Auch aus meinen Aufzeichnungen werde ich leider nicht schlau

: (

Ich würde mich über Lösungsansätze sehr freuen, da ich echt am verzweifeln bin, was dieses Thema angeht.

Danke :-D)

edit:
Unsere Lehrerin hat gesagt wir sollen folgendermaßen vorgehen:
1:Beschreibe die Größe, die extremal werden soll

2: Formolierung der Nebenbedingung

3:Bestimmung der Zielfunktion

4:Untersuchung der Zielfunktion auf Extremstellen und Berechnung des Extremums

Danke nochmal :-D) für die Hilfe die schon kam und die hoffentlich noch kommen wird :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

The3hadow

20:22 Uhr, 22.11.2010

Als erstes können wir ja feststellen, dass das Volumen vom Flächeninhalt des Dreiecks abhängt. Und nehmen wir mal an, dass wir schon ein Dreieck mit bestimmten Maßen haben. So ist es völlig egal um welche Kante wir es drehen, denn das Volumen bleibt immer gleich.

anonymous

20:24 Uhr, 22.11.2010

Wenn es rotiert, hat es die Form eines Kegels.

V = r^{2} \cdot Π \cdot \frac{h}{3}

Pytag. Dreieck

6^{2} = r^{2} + h^{2}

nach

h

umstellen und in

V

einsetzen

The3hadow

20:34 Uhr, 22.11.2010

....und am größten ist der Flächeninhalt, wenn die beiden Katheten die gleiche Länge haben (siehe Satz des Thales).

Die Katheten haben also jeweils die Länge von

\sqrt{18}

cm .

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20:52 Uhr, 22.11.2010

Das ist ja alles echt hilfreich und es ist echt nett von euch nur hab ich keinen plan was ich damit anfangen soll :-D)

The3hadow

20:54 Uhr, 22.11.2010

Was genau verstehst du jetzt nicht? :-)

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20:56 Uhr, 22.11.2010

wie ich die ganze aufgabe so lösen soll das mit meine lehrerin mir dafür keine sechs reinhaut wir solln sie ja soo lösen wie oben beschrieben ;-)

The3hadow

21:11 Uhr, 22.11.2010

Aus meinem ersten Post weißt du ja jetzt, dass du dich auf den Flächeninhalt konzentrieren kannst.

1: Der Flächeninhalt ist die Größe, die extremal werden soll.

Hauptbedingung ist also:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

2: Jetzt suchst du dir eine Kathete aus, die du ersetzen willst, ich nehme mal "a"

\to

nach dem Satz des Pythagoras gilt:

6^{2} = a^{2} + b^{2} \to a = \sqrt{6^{2} - b^{2}} \to

das ist die Nebenbedingung

3: Zielfunktion:

A (b) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6^{2} - b^{2}} \cdot b

4: Ableiten der Zielfunktion:

A' (b) = \frac{18 - b^{2}}{\sqrt{36 - b^{2}}}

Und dann halt das Extremum finden indem du diesen Term gleich 0 setzt und nach

b

umstellst. Dann noch natürlich die zweite Ableitung bilden, damit du den gefundenen Wert als Maximum bestätigen kannst.

b

ist dann auch ~4,24cm

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21:21 Uhr, 22.11.2010

DANKE AN ALLE DIE MIR GEHOLFEN HABEN :-D) JETZT VERSTEH ICH ES

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06:10 Uhr, 23.11.2010

Ich habe da doch noch eine Frage:

Wie stelle ich die Aufgabe jetzt auf

b

um?

Ich weiß die Frage ist idiotisch, doch ich saß gestern abend 2 stunden daran und habe es nicht hinbekommen.

Danke

anonymous

11:04 Uhr, 23.11.2010

Hallo,

nehmen Sie besser die Ersatzfunktion von

A (b),

indem Sie

A (b)

quadrieren.

Die entstehende Funktion

E (b)

können Sie dann deutlich einfacher zweimal ableiten.

Auch die Berechnung der Nullstellen wird sicher einfacher.

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16:16 Uhr, 23.11.2010

Also das versteh ich jetzt gar nicht?? sry bin was das angeht immoment ein bissl blöd :-D)

anonymous

16:24 Uhr, 23.11.2010

Es handelt sich hierbei um ein erlaubtes Verfahren, dass eine Wurzelfunktion quadriert werden darf, wenn man sich die Rechnung vereinfachen möchte.

Bedingung für das quadrieren:

1) A (b)

ist im betrachteten Bereich positiv. Dann gehen Hochpunkte wieder in Hochpunkte über beim quadrieren und Tiefpunkte in Tiefpunkte.
Kurz: Die x-Stellen ändern sich nicht, die Rechnung wird lediglich deutlich einfacher, ebenso das Bestimmen der Ableitungen.

Sariteeus aktiv_icon

17:12 Uhr, 23.11.2010

Die Sache ist jetzt leider die , das wir dieses quadrieren einer funktion so glaub ich noch nie gemacht haben

: (

also ich verstehs einfach nicht

- . -

könnte mir bitte einfach jemand sagen wie ich das auf

b

umstellen kann :-D)

Danke

The3hadow

17:41 Uhr, 23.11.2010

Du hast also die Ableitungsfunktion gleich 0 gesetzt und willst jetzt nach

b

umstellen? Wie schon gesagt, den ganzen Term quadrieren, als Bsp:

0 = \frac{a}{b}

|Quadrieren

\to 0 = {(\frac{a}{b})}^{2}

und jetzt müsstest du den Term leichter nach

b

umstellen können, doch Achtung! Das Ergbenis immer überprüfen, also einsetzen und schauen, ob es wirklich eine Nullstelle ist, denn das Quadrieren ist keine äquivalente Operation,

d . h

. es kommen sogenannte "Scheinlösungen" dazu, also Lösungen, die eigentlich gar keine sind.

Sariteeus aktiv_icon

18:29 Uhr, 23.11.2010

könnte mir einer den Gefallen tun und die Aufgabe also mit Lösungsweg etc von

1 - 4

aufschreiben...

ich weiß eigendlich sollte ich das selbst können nach all den Antworten die ihr mir bis jetzt gegeben habt, aber ich bekomm es einfach nicht hin

: (

The3hadow

18:37 Uhr, 23.11.2010

Ähm...bis 4. hab ich dir doch schon den Lösungsweg geliefert?

Sariteeus aktiv_icon

19:22 Uhr, 23.11.2010

ja schon aber ab da bin ich voll am versagen :-D):-D)

DmitriJakov aktiv_icon

21:25 Uhr, 23.11.2010

Ich fürchte der Hinweis von Sam92 mit dem Kegel ist irgendwie zu Unrecht ignoriert worden. Denn es macht durchaus einen Unterschied ob man die Fläche eines Dreiecks maximiert oder den sich aus ihm ergebenden Rotationskörper.

Wenn man das Ganze mal mit der Kegelformel durchrechnet wird es auch viel einfacher:

r^{2} + h^{2} = s^{2}

wobei jetzt s die Seitenlinie des Kegels ist und die im senkrechten Kegelschnitt die Hypotenuse darstellt, r und h sind dabei die jeweiligen Katheten.

s=6, also gilt

r^{2} + h^{2} = 36

Dies ist die Nebenbedingung.

Die Formel für den Kegel lautet

V = \frac{1}{3} r^{2} π h

Dies ist die zu maximierende Gleichung.

Da in der Formel für V der Radius im Quadrat eingeht, bietet es sich an die Nebenbedingung nach

r^{2}

umzustellen, da man sich so die Rechnerei mit der Wurzel spart:

r^{2} = 36 - h^{2}

.

Die Formel für V lautet somit:

V = \frac{1}{3} (36 - h^{2}) π h

. V ist somit nur noch von h abhängig.

Umgeformt ergibt sich

V (h) = - \frac{1}{3} π h^{3} + 12 π h

und

V' (h) = - π h^{2} + 12 π

Das Volumen wird maximal wenn V'(h)=0, also:

- π h^{2} + 12 π = 0 ∣ / - π ∣ - 12

h^{2} = 12

oder

h = 2 \sqrt{3}

r ergibt sich aus

r^{2} = 36 - h^{2}

r^{2} = 36 - 12 = 24

oder

r = 2 \sqrt{6}

Offensichtlich sind r und h nicht gleich groß. Vergleicht man nun das Volumen zweier Kegel deren Seitenlinie jeweils 6 cm ist, wobei der eine Kegel K1 die oben errechneten Masse für r und h hat und der andere Kegel K2 die selben Masse für r und h hat, also jeweils

\sqrt{18}

, so ergibt sich folgendes Bild für V1 und V2:

\frac{V 1}{V 2} = \frac{\frac{1}{3} r_{1}^{2} π h_{1}}{\frac{1}{3} r_{2}^{2} π h_{2}} = \frac{r_{1}^{2} h_{1}}{r_{2}^{2} h_{2}} = \frac{24 * 2 \sqrt{3}}{18 * \sqrt{18}} = \frac{24 * 2 \sqrt{3}}{18 * \sqrt{2 * 3 * 3}} = \frac{24 * 2 \sqrt{3}}{18 * 3 \sqrt{2}} = \frac{8 \sqrt{3}}{9 \sqrt{2}} > 1

BeeGee aktiv_icon

22:38 Uhr, 23.11.2010

Auch meine volle Zustimmung zu DmitriJakov. Sam92 war auf der richtigen Fährte!

Wie sieht es nun aus, wenn das Dreieck um die Hypotenuse rotiert? Zur Erklärung der Begriffe habe ich eine Skizze angehängt (Ergänzung: irgendwie spinnt mein GeoGebra momentan - die Skizze lässt sich nicht speichern. Also machen wir eine Kopfskizze :-). Rechtwinkliges Dreieck ABC, der rechte Winkel ist bei C, Höhe hc auf der Hypotenuse c teilt diese in die Abschnitte p und q. Das Dreieck rotiert um c.)

Hier entsteht als Rotationskörper ein Doppelkegel mit Radius h (Höhe des rechtwinkligen Dreiecks) und folgendem Volumen:

$V = \frac{1}{3} π {\cdot h}^{2} \cdot (p + q)$

wobei p + q = c = 6 cm.

Außerdem gilt der gute alte Höhensatz:

$h^{2} = p \cdot q = p \cdot (c - p) = p c - p^{2}$

Also:

$V_{(p)} = \frac{c}{3} π \cdot (c p - p^{2})$

Abgeleitet nach p:

$V_{(p)}^{'} = \frac{c}{3} π \cdot (c - 2 p)$

$V_{(p)}^{''} = - \frac{2 c}{3} π < 0$

Also haben wir ein Maximum für:

$c - 2 p = 0 \Rightarrow p = \frac{c}{2} = 3 c m \Rightarrow q = 3 c m \Rightarrow h = 3 c m$

Wie erwartet ergibt sich hier also ein symmetrischer Doppelkegel. Eingesetzt:

$V_{\max} = \frac{6}{3} π \cdot (18 - 9) {c m}^{3} = 18 π {c m}^{3}$

aleph-math aktiv_icon

02:29 Uhr, 24.11.2010

G. Abend/Morgen!
Edit: Es ist verblüffend, von wieviel Seiten man auf gleiche o. ähnl. Ergebn. kommen kann! Da darf ich viell. auch mein Scherflein dazu beitragen, vor allem wenn ich gg. 22h begonnen hab, aber unterbr. mußte. :(

Viell. kann ich also (zusätzlich) etwas Licht in die Sache bringen. Ich hab's schon früher versucht, aber da ist die verda... Kiste abgestürzt :grrr: In der Zwischenzeit hat's noch weitere Beiträge/Kommentare gegeben, ich hoffe, dass dieser trotzdem seinen Nutzen findet...

Also, wir haben doch einen Ausdruck der Form a/b = 0. Da muß gelten:

b \neq 0

u. solange das der Fall ist, gilt ferner:

a = 0

.
Das jetzt auf unsere Aufg. übertragen, heißt:

\forall b < 6 : 18 - b^{2} = 0 \Rightarrow b^{2} = 18 \Rightarrow b = \sqrt{18} = 4.24

. Voilà! Unbekannt/unklar dürfte jetzt nur höchstens noch das Franz. sein. ;-)

Soweit, so gut.. Aber: den Mathe-Ästheten stört das "krumme" b. Wie kann/soll ich zur Konstr. eine Strecke von 4.24 in den Zirkel nehmen? Besser gefällt mir da der Hinweis auf den Thales-Satz. Daraus folgt unmittelbar

α = 45 °

. Das ist nicht nur "schön", sond. auch genau u. einfach zu konstr.

Mein eig. Ansatz war - typisch betriebsblind! - die wörtl. Auslegung der Aufg., also:
1) extremal-Variable: Volumen V;

2) Nehmen wir nun die Hypoth. c als Basis mit den Kath. a u. b, dh. den re. Winkel bei C, sowie die Höhe h_c auf c. Dann gilt:

V = \frac{π}{3} c \cdot h^{2}

(Hauptbed.).
Aus den von der Höhe gebildeten Teil-3ecken ergibt sich

b = c \cdot c o s α

h = b \cdot s i n α = c \cdot s i n α \cdot c o s α

(Nebenbed.).

3) Mit dem Add.theorem für doppelte Winkel folgt daraus die Zielfkt.

V = \frac{π}{3} c \cdot (c \cdot s i n α \cdot c o s α)^{2} = \frac{π}{3} c^{3} (\frac{s i n (2 α)}{2})^{2} = \frac{π}{12} 6^{3} s i n^{2} (2 α) = 18 π \cdot s i n^{2} (2 α)

.

4) Extremwert:

V ʹ = 18 π \cdot 2 s i n (2 α) \cdot c o s (2 α) 2 = 72 π \cdot s i n (2 α) \cdot c o s (2 α) := 0

;
daraus wieder folgt entw.:

s i n (2 α) = 0

oder

c o s (2 α) = 0

.
Der sin liefert:

α = \frac{k π}{2}, k \geq 0

, also unbrauchbar, da ja kein 2. rechter Winkel exist. kann;
der cos dagegen liefert:

α = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \geq 0

, also 45° (u. ungerade Vielfache davon). BTW ist das auch der/ein Beweis für den Thales-Satz :-)
Fehlt noch der Extremwert selbst (den lässt der Flächenansatz aussen vor :():

V_{E} = 18 π \cdot s i n^{2} (90) = 18 π = 56, 55 [c m^{3}]

.

Na, noch jmd. da? Das war viell. etwas "starker Tobak", ich wollt aber doch im Hinblick auf andere Aufg. mal die "Brachialtour" zeigen. ;-) Der Ansatz über die Fläche, insbes. die Thales-Variante, ist wohl "handlicher", als Extremwert ist allerd. nach wie vor das VOLUMEN, nicht die Fläche gefragt; dazu ist doch wieder die Höhe als Rotationsradius nötig.

Trotzdem aller Gute u. fröhl. Rechnen! -GA

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