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Einheiten bestimmen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

tomrb aktiv_icon

14:36 Uhr, 10.01.2018

Hallo,

die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie alle Einheiten aus

ℤ [\sqrt{- 5}] = (a + b \sqrt{- 5}), a, b \in ℤ

.

Ich weiß zwar, wie eine Einheit im Ring definiert ist, jedoch finde ich keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Einheitenrechnen (Mathematischer Grundbegriff)

ermanus aktiv_icon

14:45 Uhr, 10.01.2018

Hallo,

ein Element

a + b \sqrt{- 5}

ist genau dann eine Einheit in deinem Ring,
wenn die Norm

a^{2} + 5 b^{2}

eine Einheit in

ℤ

ist, also
wenn

a^{2} + 5 b^{2} = \pm 1

ist.

Gruß ermanus

tomrb aktiv_icon

15:04 Uhr, 10.01.2018

Danke für deine Antwort. Warum steht die

\sqrt{- 5}

bei

ℤ [\sqrt{- 5}]

ermanus aktiv_icon

15:12 Uhr, 10.01.2018

Ich verstehe deine Frage nicht ??

ℤ [\sqrt{- 5}]

ist per Definition der Ring

{a + b \sqrt{- 5} ∣ a, b \in ℤ}

tomrb aktiv_icon

15:23 Uhr, 10.01.2018

Ah okay. Ich hätte noch eine kleine Frage. Und zwar ist ja eine Einheit eines Ringes mit 1 ein s für das es ein t gibt, sodass st = 1 = ts.
Ich hätte jetzt hier