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Einheitshyperbel

Schüler Gymnasium,

Tags: enstehung

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18:33 Uhr, 28.11.2011

Wie ensteht die Formel für die einheitshyperbel
also

x^{2} - y^{2} = 1

oder

{cosh}^{2} (x) - {sinh}^{2} (x) = 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

09:26 Uhr, 29.11.2011

hallo,
Wenn Du das Dreieck anschaust, das etwas grösser ist als die gelbe Fläche in Deiner Zeichnung, was fällt Dir dann auf?

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13:26 Uhr, 29.11.2011

nichts kannst du es mir bitte einfach erlären!
das ist super wichtig ich brauch das umbedingt bis morgen

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13:37 Uhr, 29.11.2011

ich habe keine ahnung

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13:51 Uhr, 29.11.2011

wenn

sinh (x) = 0

wäre dann wäre

cosh (x) = 1

und da beistes im gliches verhältnis ansteigt bleibt das ergebnis das gleiche?

ich habe keine ahnung
HILFE

funke_61 aktiv_icon

16:52 Uhr, 29.11.2011

Die Winkelfunktionen sin und

cos

wurden früher "Kreisfunktionen" genannt.

cos α

und

sin α

können als

x

-und

y

-Koordinaten des Einheitskreises

x^{2} + y^{2} = 1,

gesehen werden, bzw. diese beiden Winkelfunktionen werden sogar so definiert. (Der Einheitskreis hat den Radius

1)

Mit den beiden Hyperbelfunktionen

cosh

und

sinh

ist eine ähnliche Betrachtung auf der sogenanten Einheitshyperbel

x^{2} - y^{2} = 1

möglich. (die Einheitshyperbel geht durch den Punkt

(1 | 0))

Setzt man nun (mit einem neu eingeführten Parameter

u)

x = cosh u

und

y = sinh u,

so ergibt sich eine andere Beschreibung der Einheitshyperbel in Abhängigkeit vom Parameter

u

. (In Deiner Aufgabe wird statt dem Parameter

u

die Variable

x

verwendet, das scheint mir sehr gefährlich, denn man kann dieses

x

leicht mit der Wagrechten Koordinatenachse verwechseln)

Setze jetzt mal diese Parameterdarstellung in die Gleichung der Einheitshyperbel ein und rechne mit der Definition der Hyperbelfunktionen aus der e-Funktion weiter:

x^{2} - y^{2} = {cosh}^{2} u - {sinh}^{2} u = 1

x^{2} - y^{2} = {(\frac{e^{u} + e^{- u}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{u} - e^{- u}}{2})}^{2} = 1

Probier also mal zu zeigen, dass

{(\frac{e^{u} + e^{- u}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{u} - e^{- u}}{2})}^{2} = 1

ist, dann solltest Du gewonnen haben, soweit ich Deine Frage verstehe.

Ausserdem habe ich noch diesen Link gefunden, der Dir sicher auch weiterhilft:

http//www.mathe-seiten.de/areafun.pdf

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17:06 Uhr, 29.11.2011

ich weiß das wenn man das einsetzt und ausrechnet 1 rauskommt!

aber wie kommt man darauf?

ich meine woran kann man das bei der einheitshyperbel sehen!
ich versteh den grund nicht!

Wie kann man erklären wie man auf diese Formel kommt?

funke_61 aktiv_icon

17:14 Uhr, 29.11.2011

Tut mir Leid, mehr kann ich Dir nicht erklären. für mich ist es sonnenklar, dass

x^{2} - y^{2} = 1

die Gleichung der Einheitshyperbel ist, genau so wie

x^{2} + y^{2} = 1

die Gleichung des Einheitskreises ist.
Wenn Du auch mit komplexen Zahlen etwas umgehen kannst, ist dieses pdf vieleicht noch nützlich für Dich:

http//micbaum.y0w.de/uploads/Hyperbelfunktionen.pdf?phpMyAdmin=CCCIx%2CPy1dmla72Gzd2fUyFRNx8

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17:19 Uhr, 29.11.2011

ich will doch nur wissen ob es wie beim einheitskreis sowas wie
Kathete^2+Kathete^2=1
gibt! Also wie beim Satz den pythagoras!

funke_61 aktiv_icon

17:23 Uhr, 29.11.2011

ja beim Einheitskreis gilt natürlich der Pythagoras

x^{2} + y^{2} = 1^{2}

und 1 ist die Hypothenuse, nämlich der Radius des Einheitskreises.

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17:38 Uhr, 29.11.2011

aber es musst doch auch so eine erklärung für die einheitshyperbel geben oder nicht?

funke_61 aktiv_icon

17:39 Uhr, 29.11.2011

www.mathe-seiten.de/areafun.pdf
benennt übrigens

x^{2} - y^{2} = 1

bzw. mit eingesetzter Parameterdarstellung

{cosh}^{2} t - {sinh}^{2} t = 1

als "hyperbolischer Pythagoras".
Hilft Dir das weiter?

funke_61 aktiv_icon

17:42 Uhr, 29.11.2011

Der Kreis und die Hyperbel sind beides Kegeschnitte, wie die Parabel und die Ellipse.

Der einzige Unterschied zwischen Einheitshyperbel und Einheitskreis ist das Minuszeichen zwischen

x^{2}

und

y^{2}

.
Und man benötigt zum "Parametrisieren" nicht die Winkelfunktionen sondern die Hyperbelfunktionen.

funke_61 aktiv_icon

17:51 Uhr, 29.11.2011

so, jetzt muss ich gehen.
viel Glück noch.

Sophilia aktiv_icon

17:53 Uhr, 29.11.2011

danke für die mühe

funke_61 aktiv_icon

13:55 Uhr, 01.12.2011

de.wikipedia.org/wiki/Hyperbel_(Mathematik)#Gleichung_der_Hyperbel

zeigt, wie man auf die allgemeine "Hyperbelgleichung in der 1. Hauptlage"

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

kommen kann.

Analog zur Ellipse mit den Halbachsen a und

b,

welche die Gleichung

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

erfüllt, kann man bei der Hyperbel den
Parameter

a

als "reele Halbachse" und den
Parameter

b

als "imaginäre Halbachse" bezeichnen.

Wenn man

a = 1

und

b = 1

setzt, erhält man die soganannte Einheitshyperbel

x^{2} - y^{2} = 1

analog zum Einheitskreis, der entsprechend aus der Allgemeinen Ellipsengleichung entsteht.
Übrigens sind die Asymptoten, an die sich die Hyperbel im unendlichen annähert, jeweis die Winkelhalbierenden der Quadranten, also die Geraden

y = x

und

y = - x

Diese Geradengleichungen sind übrigens auch ein Kegelschnitt ("Entartete Hyperbel"), nämlich der Schnitt durch die Spitze eines Doppelkegels mit dem Öffnungswinkel 90° entlang der Symmetrieachse des Doppelkegels.

de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Kegelschnitt.png&filetimestamp=20050413205901

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