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Einheitswurzel zeigen

Universität / Fachhochschule

Tags: Einheitswurzel, Komplexe Zahlen

TheOne123 aktiv_icon

22:26 Uhr, 05.08.2021

Guten Abend,

ich möchte in einer Aufgabe zeigen, dass eine gegebene komplexe Zahl die 8te Einheitswurzel ist und weiß nicht genau wie man das macht. Im Internet habe ich gelesen, dass man zeigen muss dass

z^{8} = 1

was das konkret bedeutet, wie ich vorgehen muss, ist mir nicht klar. Ich weiß dass ich wohl die komplexe Wurzel ziehen muss.

Die gegeben Zahl ist:

z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i

Für das Wurzel ziehen, benutze ich folgende Formel:

w_{k} = 1^{\frac{1}{8}} \cdot (\frac{π + 2 \cdot π \cdot k}{8}) + i \cdot sin (\frac{π + 2 \cdot π \cdot k}{8})

und hier würde ich dann für

k = 0,1, ... 7

einsetzen um die Wurzeln zu berechnen.

Man kann die Wurzel glaube ich auch mit der eulerschen Zahl ziehen, jedoch wird es nicht so in meinem Skript gemacht deswegen halte ich mich lieber ab meine Formel oben.

Wäre dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Viele Grüße

rundblick aktiv_icon

22:42 Uhr, 05.08.2021

.
hm.. sollst du nur zeigen, dass

z = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (1 + i)

eine der 8 achten Einheitswurzeln ist ?

ja ? .. nein ?

\to . .

.

.

TheOne123 aktiv_icon

22:45 Uhr, 05.08.2021

ohh, ja genau.
Die genaue Aufgabenstellung lautet:

"Zeigen Sie, dass

z

eine 8. Einheitswurzel ist."

TheOne123 aktiv_icon

22:46 Uhr, 05.08.2021

"Zeigen Sie, dass

z

eine 8. Einheitswurzel ist."

rundblick aktiv_icon

22:58 Uhr, 05.08.2021

.
"Zeigen Sie, dass

z

eine 8. Einheitswurzel ist."
ok
zeige also direkt, dass

z^{8} = 1

ist

zB so

\to

z = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (1 + i) .

\Rightarrow

z^{2} = {[\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (1 + i)]}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (1 + 2 i + i^{2}) = \frac{1}{2} \cdot (1 + 2 i - 1) = i

z^{4} = {(z^{2})}^{2} = . .

z^{8} = {(z^{4})}^{2} = . .

. ? ..:-)

fülle die fehlenden Werte ein .. .. fertig !

oder nebenbei:

du könntest ja auch das "Rezept" für alle acht Lösungen von

z^{8} = 1

notieren (Polarform verwenden)
und dann zeigen dass einer der acht Werte des Parameters zu deiner Zahl

z

gehört..

.

TheOne123 aktiv_icon

23:17 Uhr, 05.08.2021

Ahh verstehe. Wenn

z^{2} = i

dann ist

z^{4} = - 1

und

z^{8} = 1

.

Vielen Dank! War ja doch einfacher als gedacht :-)

rundblick aktiv_icon

23:20 Uhr, 05.08.2021

.
"..einfacher als gedacht "

umgekehrt: zuerst gedacht, erst dann wird´s einfach einfacher.. :-)
.

TheOne123 aktiv_icon

23:38 Uhr, 05.08.2021

Ich hätte noch weitere Aufgaben, bei denen ich vllt Hilfe brauchen werde aber die möchte ich zuerst selber versuchen. Wir werden uns also möglicherweise nochmal über den Weg laufen :-D)
Und danke nochmal!

rundblick aktiv_icon

23:50 Uhr, 05.08.2021

.
" nochmal über den Weg laufen "
ok .. über-laufen?->von-wegen!
und irgendwann werde ich dich dann fragen: Wohin des Weges ? :-)
.

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