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Eins hoch unendlich

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: warum nicht eins?

artiiK aktiv_icon

00:52 Uhr, 22.01.2011

Hallo.

Wieso ist 1 hoch unendlich nicht 1?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

01:44 Uhr, 22.01.2011

Hi,

was solls denn sonst sein?

Gruß,

smoka

Shipwater aktiv_icon

10:13 Uhr, 22.01.2011

1^{\infty}

kann jede positive, reelle Zahl sein. Man denke an

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

smoka

12:02 Uhr, 22.01.2011

Na ja, unter "1 hoch unendlich" verstehe ich:

lim_{n \to \infty} 1^{n}

und das ist zweifelsohne =1.

Gruß,

smoka

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12:09 Uhr, 22.01.2011

Also ich verstehe unter

1^{\infty}

einen unbestimmten Ausdruck. Genauso wie

\frac{0}{0}

. Alleine daraus kann man noch nicht auf den Grenzwert schließen, da kann alles mögliche rauskommen.

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

geht ja qausi auch gegen

1^{\infty}

nur kommt in diesem Fall dafür halt

e

heraus.
http//de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_%28Mathematik%29#Definition

artiiK aktiv_icon

15:08 Uhr, 22.01.2011

ich kapiers immer noch nicht.
ich meine... egal welche reele zahl man doch für

x

bei

1^{x}

einsetzt, kommt immer eins raus.. der graph entspricht dem der Funktion

f (x) = 1 . .

. und ändert dann eig. seinen konstanten verlauf im unendlichen nicht. ich finde nicht das man das mit dem e-grenzwert vergleichen kann, denn da ist die Basistrotzdem immer noch "ein bisschen größer" als 1. somit nähert sich der graph ASYMPTOTISCH an den Wert

2,71 . .

. an, während er bei

1^{x}

dem Funktionswert selbst entspricht.
Nicht falsch verstehen. Ich nehme das zur Kenntnis. Nur möchte ich wissen, ob es eine Möglichkeit gibt, das logisch zu kapieren!

Shipwater aktiv_icon

15:15 Uhr, 22.01.2011

1^{\infty}

ist einfach ein unbestimmter Ausdruck. Das

lim_{n \to \infty} 1^{n} = 1

ist, ist klar, aber hat damit nichts zu tun. Wenn du bei irgendwelchen Grenzwertberechnungen auf

1^{\infty}

stößt ist das nicht zwingend

1,

sondern kann jede positive, reelle Zahl sein. So wie bei

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

. Das wollte ich mit meinem Beitrag oben ausdrücken.
Ist doch genauso wie bei

\frac{0}{0}

. Das nimmt je nach Fall einen anderen Wert an. Darauf beruht die ganze Infinitesimalrechnung.

artiiK aktiv_icon

18:10 Uhr, 22.01.2011

hm.. so langsam komm ich der sache näher.. aber mit dem e-Beispiel kann ich das nicht nachvollziehen. könntest du mir vielleicht ein beispiel liefern, wo die basis "tatsächlich" 1 ist und der grenzwert nicht den wert 1 hat?
also 1^

\infty

=! 1

smoka

18:20 Uhr, 22.01.2011

so ein Beispiel gibt es nicht,

lim_{n \to \infty} 1^{n}

ist immer =1.
Was Shipwater meint ist, dass (um bei dem genannten Beispiel zu bleiben)

(1 + \frac{1}{n})

für große n ja annähernd =1 ist, allerdings ist

(1 + \frac{1}{n})^{n}

für große n nicht =1.

artiiK aktiv_icon

18:26 Uhr, 22.01.2011

das ist mir klar.. aber dann ist doch nicht eins hoch unendlich unbestimmt sondern der grenzwertvon

{(1 + \frac{1}{n})}^{n}

für

n

gegen unendlich

Shipwater aktiv_icon

18:27 Uhr, 22.01.2011

Wenn die Basis schon fest 1 ist, ist ja klar, dass auch der Grenzwert 1 sein muss. Aber bei

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

könnte man über "direktes Einsetzen" auch sagen, das ergibt

{(1 + \frac{1}{\infty})}^{\infty} = 1^{\infty}

weil

\frac{1}{\infty} = 0

ist. (so darf man das natürlich nicht schreiben! Das dient nur der Erläuterung)
Und jetzt kann man daraus aber nicht schließen, dass

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1

sein muss, nur weil beim "direkten Einsetzen"

1^{\infty}

entsteht.
Ist im Prinzip ja auch das gleiche wie bei dem

\frac{0}{0} -

Dilemma.
Wenn der Zähler schon fest 0 ist, ist ja klar, dass auch der Grenzwert 0 sein muss.

lim_{n \to 0} \frac{0}{n} = 0

Aber wenn er nicht fest 0 ist, kann da beliebig anderes bei rauskommen:

lim_{n \to 0} \frac{π \cdot n}{n} = π

In beiden Fällen entsteht beim "direkten Einsetzen"

\frac{0}{0}

.

Gruß Shipwater

Zeus55 aktiv_icon

18:48 Uhr, 22.01.2011

ich muss mich jetzt mal einmischen:
Ich persönlich hätte auch ein problem mit damit wenn jemand behauptet.

1^{\infty}

wäre was anderes wie ein denn hier ist die Basis definitiv ein und somit das ergebnis aus klar ist. In bezug auf einen grenz wert sieht das ganze ja schon anders aus.
Hier könnte man behaupten.

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \to 1^{\infty}

jetzt ist meine frage worin besteht der unterschied:
1. Das hier ja gilt

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \to 1^{\infty}

und nicht:

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1^{\infty}

Denn der Grenzwert wird ja nie erreicht...
oder
2.
Ist der unterschied das hier

1^{\infty}

in Bezug zu etwas anderem steht.

oder beides oder kein von beidem :-)

Also ich versteh das problem und ko glaub jetzt auch dahinter was gemeint ist.
Kan man behaupten das

1^{\infty}

einfach kein eindeutig definierter ausdruck ist?
genauso wie bei

0^{0}

? Nach meinem mathe Prof kann das sowohl 1 als auch 0 sein.
Obwohl ja

lim_{x \to 0} x^{x}

definitiv gegen 1 geht.
Zumindest scheinen mir beide probleme vom gleichen schlag zu sein.

Shipwater aktiv_icon

19:11 Uhr, 22.01.2011

Nochmal: Zu sagen, dass

1^{\infty}

etwas anderes als 1 ist, ist genauso Schwachsinn, wie zu sagen, dass es 1 ist.

1^{\infty}

ist ein unbestimmter Ausdruck, der ja nicht umsonst "unbestimmt" heißt. Was ich meinte ist, dass wenn man bei Grenzwertberechnungen beim "direkten Einsetzen" auf

1^{\infty}

stößt, man daraus nicht schließen kann, dass der Grenzwert 1 sein muss. Da kann im Prinzip trotzdem noch jede positive, reelle Zahl der Grenzwert sein. Ich behaupte nicht, dass

1^{\infty} = e

ist! Das Beispiel mit

0^{0}

ist im Prinzip genau das gleiche.

lim_{x \to 0} 0^{x} = 0

aber

lim_{x \to 0} x^{0} = 1

obwohl in beiden Fällen beim "direkten Einsetzen"

0^{0}

entsteht. Zu behaupten

0^{0} = 1

ist also genauso schwachsinnig wie zu behaupten

0^{0} = 0

oder eben

1^{\infty} = 1

Zeus55 aktiv_icon

19:33 Uhr, 22.01.2011

So jetzt ist glaub ich engültig klar
Ich denk das problem liegt ja darin das

1^{\infty}

je so aussieht als müsste das 1 sein. aber hier muss man differenzieren zwischen

1^{n}

und

1^{\infty}

. Wie das so mit der unendlichkeit ist spielt hier mal weider alles verrückt.
Allein die tatsache das man das

\infty

direkt in einem ausdruck schreiben ist schon ungewöhnlich.
Ein schönes beispiel für seltsame ereignisse bei der unendlichkeit ist ja das, das kommutativ gesetz bei unendlichen reihen nicht mehr gilt bzw. nur unter einer bedingung.
Genauso ist es ein problem zu sagen

1^{\infty}

wäre 1
Genau wie du sagst shipwater: ein beispiel wäre dafür auch

\frac{\infty}{\infty}

bzw

\frac{0}{0},

diese sind ja auch nicht 1.
Somit ist

1^{\infty}

einfach nicht definiert.

Shipwater aktiv_icon

19:40 Uhr, 22.01.2011

1^{\infty}

am besten einfach unter unbestimmter Ausdruck abspeichern.

Zeus55 aktiv_icon

19:52 Uhr, 22.01.2011

ist es bei mir auch.
Ich sag mal ich kanns mir erklärenund für mich ist es logisch :-P)
also passt

Shipwater aktiv_icon

19:55 Uhr, 22.01.2011

Also mein Physiklehrer meinte mal man hat etwas erst verstanden, wenn man es jemand anderem beibringen kann. :-)

artiiK aktiv_icon

00:22 Uhr, 23.01.2011

okay, jetzt habe ich es verstanden...der wert selbst von eins hoch unendlich ist

1 . .

. wenn eins hoch unendlich aber nach einem grenzübergang entsteht ist der ausdruck unbestimmt, richtig ?!

smoka

00:44 Uhr, 23.01.2011

Richtig!

Shipwater aktiv_icon

11:46 Uhr, 23.01.2011

Also meiner Meinung nach ist "der wert selbst von eins hoch unendlich ist 1" Schwachsinn. Es ist einfach nur ein unbestimmter Ausdruck, dem kein eindeutiger Wert zugeordnet ist.

smoka

12:13 Uhr, 23.01.2011

Das ist vielleicht eine ungünstige Formulierung, aber ich denke er meint:

lim_{n \to \infty} 1^{n} = 1

und das ist sicher wie das sprichwörtliche Amen in der Kirche.

Shipwater aktiv_icon

13:19 Uhr, 23.01.2011

lim_{n \to \infty} 1^{n} = 1

werde ich auch nie bezweifeln.

DmitriJakov aktiv_icon

13:44 Uhr, 23.01.2011

Ich habe eure Diskussion mitverfolgt und kann insbesondere die Argumentation von shipwater nicht nachvollziehen.

1^{\infty}

kann IMHO niemals einen anderen Wert annehmen als 1. Das Argument, dass

z . B

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

ist, sticht nicht, da

1 \neq 1 + \frac{1}{n} .

Wenn

1^{\infty}

unbestimmt wäre, dann müsst auf dem Weg dorthin auch irgendwann

1^{2} . .

1^{3} . .

. oder

1^{n}

unbestimmt sein, und das ist nicht der Fall. Das liesse sich IMHO auch durch vollständige Induktion beweisen.

hagman aktiv_icon

13:49 Uhr, 23.01.2011

Das ist ein weites Feld, man sollte möglichst immer zwischen *undefinierten* und *unbestimmten* Audrücken unterscheiden, vergleiche de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl
Da hier einer der Operanden bereits gar keine reelle Zahl ist, ist erst recht Vorsicht geboten.
Ebenso, wie es (oft genug) sinnvoll ist

0^{0} = 1

zu definieren(!), obwohl aus

a_{n} \to 0

und

b_{n} \to 0

noch lange nicht

{(a_{n})}^{b_{n}} \to 1

folgt, kommt es bei

1^{\infty}

auch "drauf an". So würde ich

1^{ω}

oder

1^{ℵ_{0}}

sofort als *eindeutig*

= 1

anerkennen, bei

\infty

kommt es bereits darauf an, ob man die reellen oder beispielsweise nur die natürlichen Zahlen durch das Symbol

\infty

erweitert

. .

.

EDIT: Nachtrag zum Begriff *unbestimmter* Ausdruck.
Ein Ausdruck "

a \circ b

" heisst unbestimmt (unabhängig davon, ob er *definiert* ist oder nicht), wenn Aus

a_{n} \to a

und

b_{n} \to b

nicht notwendig folgt, dass

a_{n} \circ b_{n}

für fast alle

n \in ℕ

definiert ist und

a_{n} \circ b_{n} \to a \circ b

gilt. Mit anderen Worten: wenn besondere Aufmerksamkeit beim Umgang mit Grenzwerten erforderlich ist.

Shipwater aktiv_icon

14:11 Uhr, 23.01.2011

Natürlich ist

1 \neq 1 + \frac{1}{n}

aber es geht bei dem genannten Fall doch auch um

n \to \infty

und es ist eben

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

weswegen man bei

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

auch sagen könnte, dass durch "direktes Einsetzen"

1^{\infty}

entsteht. Das "einzige" was ich in diesem Thread nun behauptet habe, ist, dass man daraus nicht schlussfolgern kann, dass

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 1

ist. Immer wenn man bei Grenzwertberechnungen auf

1^{\infty}

stößt, kann man eben nicht einfach sagen, dass der Grenzwert dann 1 sein muss. Das hat auch gar nichts damit zu tun, dass er im Falle von

lim_{n \to \infty} 1^{n}

wirklich 1 ist. Vom Prinzip her könnte jede positive, reelle Zahl herauskommen. So wie eben

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e

.
Ich merke schon, ich wiederhole mich. Mehr kann ich dazu nicht mehr sagen.

DmitriJakov aktiv_icon

14:22 Uhr, 23.01.2011

Nun, vielleicht können wir uns darauf einigen, dass ein Unterschied besteht, ob ich einen Ausdruck, der gegeb Eins strebt, unendlich oft potenziere oder einen Ausdruck, der Eins ist.

Shipwater aktiv_icon

14:30 Uhr, 23.01.2011

Ich glaube hier wird missinterpretiert, was ich eigentlich aussagen möchte. Natürlich besteht ein Unterschied, deswegen ist ja auch

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e \neq 1

.
Nur könnte man ja auch auf die Idee kommen, so zu "rechnen":

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = {(1 + \frac{1}{\infty})}^{\infty} = 1^{\infty}

weil

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

bzw.

\frac{1}{\infty} = 0

ist.
Und hieraus nun zu folgern, dass

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

eins sein muss, weil beim "direkten Einsetzen"

1^{\infty}

entsteht, ist halt einfach falsch. Wenn man bei Grenzwertbetrachtungen auf den Ausdruck

1^{\infty}

stößt, kann im Prinzip jede positive, reelle Zahl damit gemeint sein. So wie im Falle von

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

eben

e

damit gemeint ist. Ferne Analogie zu dem

\frac{0}{0} -

"Problem".

\frac{0}{0}

kann je nach Fall für jede beliebige, reelle Zahl stehen. Daher spricht man ja auch von einem unbestimmten Ausdruck.

artiiK aktiv_icon

14:37 Uhr, 23.01.2011

Shipwater, das ist doch das was ich gesagt habe. wenn die basis TATSÄCHLICH 1 und nicht

(!)

wie sie es bei

1 + \frac{1}{n}

für n->unendlich ist ( nämlich immer "etwas mehr" als

1)

denn

1 +

1/unendlich ist nicht 1 sondern GEHT GEGEN

1 . .

. in dem fall entsteht der ausrdruch eins hoch unendlich erst durch den grenzübergang... aber ist die basis

1 (

und eben nicht bisschen mehr ) dann ist sie potenziert mit unendlich auch 1.

DmitriJakov aktiv_icon

14:46 Uhr, 23.01.2011

@artiik
So hatte ich Deine Ausgangsfrage auch verstanden. Aber ich verstehe jetzt auch ein wenig mehr, was shipwater meint, nämlich eine fehlerhaft verkürzte Schlussfolgerung bei Grenzwertbetrachtungen.

Vielleicht kannst Du mal erläutern aus welchem Zusammenhang Du gehört hast, dass

1^{\infty}

nicht Eins sei. Vielleicht wird dann klarer warum und weshalb man dies Dir gesagt hat.

Ich vermute fast, dass der Zusammenhang darin bestand, was shipwater zu beschreiben versuchte, nämlich die fehlerhafte Interpretation bei Grenzwerten.

Shipwater aktiv_icon

14:46 Uhr, 23.01.2011

Liest du dir meine Beiträge eigentlich durch artiik? Genau dazu habe ich doch jetzt schon paar mal Stellung genommen. Ich werde das alles jetzt nicht nochmal wiederholen. Im Endeffekt kann man das drehen und wenden wie man will. Alleine weil

\infty

keine reelle Zahl ist, ist die Behauptung

1^{\infty} = 1

(meiner Meinung nach!) schon kritisch.
Und

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})

ist eben wohl

= 1

und nicht nur

\to 1

. Im Unendlichen nimmt die Funktion/Folge oder was auch immer genau den Wert 1 an. Nur kann der Mensch eben nicht bis in die Unendlichkeit denken.

artiiK aktiv_icon

16:05 Uhr, 23.01.2011

@Dmitri:es war nichts weiter, unser lehrer hat nur zu einer schülerin unseres kurses gemeint, sie möge doch bitte der klasse in der nächsten stunde erklären, wieso eins hoch unendlich nicht gleich 1 ist bzw. sein muss.
@Shipwater: Sicher tue ich das. Ich sollte eher von dir behaupten, dass du dir meine Beiträge nicht durchliest. Der Wert von dem FESTSTEHENDEN Term eins hoch unendlich ist eins! Der unbestimmte Ausdruck eins hoch unendlich entsteht erst durch den Grenzübergang! Was du sagst ist falsch.

1 + \frac{1}{n}

ist nicht( auch im Unendlichen noch nicht

) 1

. Es geht gegen eins. DER GRENZWERT, also der limes von

1 + \frac{1}{n}

für

n

gegen unendlich... DER ist eins.. Der Limes beschreibt ja gerade den Funktionswert, den die Funktion im Unendlichen nicht mehr zu erreichen "schafft". Aber beim e-Beispiel potenziert man ( wenn man so will

) 1^{+}

mit unendlich und nicht EXAKT 1.
Sagst du eins hoch unendlich ist 1 stimmt das. DENN: du lässt den exponent gegen unendlich gehen... beim e-beispiel lässt du aber zusätzlich die basis gegen 1 gehen, aber du lässt sie nicht 1 sein... den 1 wird sie nie!!

Shipwater aktiv_icon

16:48 Uhr, 23.01.2011

Was soll bitte der "feststehende Term"

1^{\infty}

sein? Und

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1

ist Tatsache, da brauchst du gar nicht erst dran zu zweifeln.

"Der Limes beschreibt ja gerade den Funktionswert, den die Funktion im Unendlichen nicht mehr zu erreichen schafft."
Aha und warum ist dann

lim_{n \to \infty} 1 = 1

?
Und was meinst du bitte mit "potenziert man $1^{+}$ mit unendlich"? Die kleinste positive, reelle Zahl ist nicht darstellbar.

e^{- x}

zum Beispiel ist im Unendlichen NULL und nicht

0^{+}

oder infinitesimal größer null oder solch ein Quark.
Wäre

e^{- x}

im Unendlichen größer null, könnte ich ein

d > 0

finden, sodass

lim_{x \to \infty} e^{- x} > d

"Was du sagst ist falsch"
Nur deshalb weil dir deine Argumentation mehr einleuchten mag, ist meine noch lange nicht falsch.

artiiK aktiv_icon

17:21 Uhr, 23.01.2011

Hör zu: Ich will hier keine Debatte^^... nur sage ich das 1 hoch unendlich für mich 1 ist und für immer 1 bleiben wird. Sieh dir doch noch einmal die Argumentation von Zeus an.. Die hat es auf den Punkt gebracht. Die Grenzwertbetrachtung, welche die Eulersche Zahl beschreibt ist NICHT eins hoch unendlich sondern geht gegen eins hoch unendlich sonst wäre es ja 1… es ist aber

e

.
Du meinst außerdem, was du sagst sei richtig… wie kann denn

1 + \frac{1}{n}

für wie genügend große

n

auch immer, 1 sein??? Der zweite Summand ist ( auch wenn, wie du richtig sagst, die kleinste positive reele Zahl nicht darstellbar ist … was nicht heißt dass sie nicht existiert! ) trotzdem

> 0

und damit die Basis nicht eins.. der Limes eines Terms ist nicht gleichzusetzen mit dem Wert, den dieser im unendlichen annimmt. Den dieser ist nicht darstellbar! Es sei denn: Jetzt komm ich zu deiner nächsten – vermeintlichen – Widerlegung meiner aussage… wieso ist dann limes von eins hoch unendlich gleich 1. Naja, weil der graph sich an die eins eben nicht asymptotisch annähert sondern im unendlichen dem funktionswert, also eins, entspricht. Zum Beispiel ist auch limes von

x \to 0

von x²+4

= 4

trivial.. mit anderen worten: für die Funktion eins hoch unendlich ist der Wert 1 keine Schranke.. im gegensatz eben zu

1 + \frac{1}{n}

Shipwater aktiv_icon

17:46 Uhr, 23.01.2011

Du schreibst

1^{\infty}

ist für dich gleich 1. Ich muss schon zugeben, selten solch eine präzise mathematische Beweisführung gesehen. Und dass

1 + \frac{1}{n}

im Unendlichen gleich 1 ist, ist Tatsache. Wie schon gesagt: Wäre es größer eins, müsste es ein

d > 1

geben mit

lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) > d

. Genau deswegen kann man auch sagen, dass aus

lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}

beim "direkten Einsetzen"

1^{\infty}

entsteht, der Grenzwert der Folge jedoch nicht

1,

sondern

e

ist. Und daraus ergibt sich dann auch, dass

1^{\infty}

unbestimmt ist.
Und übrigens existiert keine kleinste, positive reelle Zahl, was auch schnell zu zeigen ist. Man nehme an, dass

ε > 0

diese Zahl sei. Dann gibt es ein

n \in ℕ

für welches gilt

n > \frac{1}{ε}

und somit auch

\frac{1}{n} < ε

. Weil

\frac{1}{n}

auch eine positive reelle Zahl ist, ist der Gegenbeweis abgeschlossen. Denn nach Annahme ist

ε

die kleinste, positive, reelle Zahl, aber gezeigt wurde ja, dass die reelle, positive Zahl

\frac{1}{n}

noch kleiner ist. (indirekter Beweis)
Was dann noch in deinem Beitrag folgt, ist mir zu chaotisch, als dass ich Zeit investieren würde, um darauf einzugehen. Sowas wie " die Funktion

1^{\infty}

" ergibt doch einfach keinen Sinn.
Außerdem hast du doch selbst geschrieben, dass dein Lehrer einem Mädchen aus deiner Klasse die Aufgabe gegeben hat, der Klasse zu zeigen, warum

1^{\infty}

nicht gleich 1 ist. Warum sollte er dem Mädchen eine falsche Aufgabenstellung geben? Entweder ist er Sadist oder

1^{\infty}

ist eben nicht gleich 1.
Übrigens: Gib doch mal

1^{\infty}

bei Wolframalpha ein. Du erhältst als Ergebnis indeterminate

(=

unbestimmt) und nicht

1!

(soll natürlich nicht heißen, dass Maschinen immer Recht haben)

artiiK aktiv_icon

19:34 Uhr, 23.01.2011

Mit: der wert der funktion eins hoch unendlich ist eins meinte ich natürlich ( verkürzt

),

dass der Wert der Funktion

f (x) = 1^{x}

an der „Stelle“ unendlich den wert 1 hat.
Und genau DAS, was du mit dem direkten Einsetzen meinst.. das da eins hoch unendlich rauskommt, das ist mir ja sowas von einleuchtend… aber das geht eben nur beim direkten einsetzen bzw. dem grenzübergang… das heißt es GEHT LEDIGLICH GEGEN eins hoch unendlich.
Mit deinem indirekten beweis wäre ich vorsichtig… wie ich bereits sagte.. die kleinste positive reele zahl ist nicht DARSTELLBAR.. also sagen wir

0,001

oder so wäre es.. denn du kannst noch unendlich viele nullen davor hinschreiben und die zahl wird kleiner…
Aber es besteht ein unterschied zwischen. Die zahl existiert ( im Unendlichen eben.. woraus auch folgt-> ) und die zahl ist nicht darstellbar… du hast also lediglich beweisen, dass diese zahl nicht darstellbar ist, was bedeutet, dass ich genauso dumm wie vorher bin.
Unser Lehrer meinte meiner meinung nach also wohl: dass, falls eins hoch unendlich beim grenzübergang ( oder wie du es nennst: beim direkten einsetzen ) herauskommt ist der Grenzwert nicht zwingend 1. Ich hoffe zumindest da sind wir uns einig.

Shipwater aktiv_icon

19:43 Uhr, 23.01.2011

Dass keine kleinste positive, reelle Zahl existiert, ist auch Tatsache. Das kommt erst mit den hyperreellen Zahlen, siehe: de.wikipedia.org/wiki/Hyperreelle_Zahl
Du solltest nicht einfach irgendetwas behaupten, nur weil es dir persönlich als logisch erscheint. Aber ich denke, dass eine weitere Diskussion nicht zielführend wäre. Du beharrst auf deiner Meinung, ich beharre auf meiner Meinung. Schönen Sonntag noch an alle.

artiiK aktiv_icon

19:56 Uhr, 23.01.2011

Wieso nicht, ich kann behaupten, dass

1 + 1 = 2

ist, weil es mir logisch erscheint. Begründung : Habe ich eine Orange und hole noch eine Orange, habe ich zwei Orangen. Wie auch immer.. ich bin derselben meinung. Die diskussion führt zu nichts…

Shipwater aktiv_icon

20:03 Uhr, 23.01.2011

Das ist ja jetzt wieder etwas ganz anderes. Die Addition wurde gerade so festgelegt, dass sie uns Menschen als sinnvoll erscheint und auf sowas beruht dann die ganze Mathematik. Man muss eben zuerst etwas festlegen, was als logisch erscheint (Axiome) und daraus dann weiteres ableiten. Einen Ursprung muss es geben. Ich habe viel mehr kritisiert, dass du Sachen behauptest, die eindeutig falsch sind

(\in

"unserer" Mathematik)

anonymous

18:40 Uhr, 19.12.2012

mag sein das es schon beantwortet ist, aber ich als einfacher Zehntklässler der Realschule kapiert es nicht so ganz.

1∞ heißt doch das gleiche wie

1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1

. . . usw.

Und egal wie weit ich die reihe weiterführe

1 \cdot 1 \cdot 1

ist immer 1. Auch wenn ich dann noch einmal

\cdot 1

machen

O . o

oder liege ich da falsch?

eine Erklärung die ein normal sterblicher nicht Mathe Student versteht wäre schön :-)
danke

CKims aktiv_icon

19:40 Uhr, 19.12.2012

wie hast du denn den alten thread gefunden xD

also du liegst schon richtig damit, dass 1 hoch unendlich insgesamt 1 ergibt... denn es ist egal wieviele einsen man miteinander multipliziert... es kommt immer eins raus...

anders ist es bei einer basis, die nur gegen 1 konvergiert, aber nicht selber 1 ist...z.b. kann man sich folgendes anschauen

1 . 1^{1}

1 . 01^{2}

1 . 001^{3}

1 . 0001^{4}

. .

. .

1.000 {...}^{\infty}

(hier kommt noch eine 1 unendlich weit hinter dem komma)

und dann kann schonmal was anderes rauskommen als

1 . .

. je nach dem wie "schnell" die basis gegen 1 konvergiert.

anonymous

01:15 Uhr, 20.12.2012

1. in dem ich in google "eins hoch unendlich" eingegeben habe weil ich erhofft hatte die liegende acht zu finden :-P)

2. also ist die antwort auf die eigentliche forum frage
1∞

= 1

[1

"hoch" ∞

= 1]

aber
1.x∞ ≠ 1

1 . x

"hoch" ∞ ≠ 1

was ja eigentlich auf der hand liegt ..

naja eigentlich danke ich dir nur für die schnelle antwort, hätte ich nich gedachte
Deswegen doppelt danke ;-) :-)

anonymous

07:21 Uhr, 20.12.2012

Warum sich manche - auch Mathematiker - mit

\infty

schwer tun: Sie sehen in

\infty

eine Zahl, das ist

\infty

aber definitiv NICHT.

CKims aktiv_icon

11:55 Uhr, 20.12.2012

1 . x

"hoch"

\infty \neq 1

ganz so einfach ist das nicht... es kann gleich 1 sein oder aber auch was anderes... daher auch die laengere diskussion oben...

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Sie sehen in

\infty

eine Zahl, das ist

\infty

aber definitiv NICHT.

ganz so einfach ist das nicht... es kommt drauf an wie man

\infty

definiert. es gibt felder in der mathematik, in denen es sinn macht

\infty

als zahl zu definieren.

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