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Elektrisches Strömungsfeld

Schüler

Tags: strömungsfeld

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11:27 Uhr, 03.10.2011

Hallo ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

Gegeben ist folgender kugelförmiger Erder. Sein Radius beträgt r0 und dessen Oberfläche
kann als ideal leitend angesehen werden. Das umgehende Erdreich hat die endliche Leitfähigkeit
γ. Gehen Sie während den Betrachtungen von einem eingeprägten Strom I0 aus, der dem
Kugelerder über eine isolierte Leitung zugeführt wird. Randeffekte durch die Erdoberfläche
sind zu vernachlässigen.

4.1 Geben Sie den Betrag der elektrischen Feldstärke E und der elektrischen Stromdichte
J in Abhängigkeit vom Abstand r vom Mittelpunkt des Kugelerders an.
(4.2) Berechnen Sie den sogenannten Übergangswiderstand R zwischen Erder und umgebendem
Erdreich. Berechnen Sie dazu zunächst die Spannung U zwischen der Kugeloberfläche
und einem Punkt P mit großem Anstand d.

Ich hoffe das mir jemand bei dieser schwierigen Aufgabe helfen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Rabanus aktiv_icon

15:49 Uhr, 03.10.2011

Hallo !

Welche Gesetzmäßigkeiten zum Strömungsfeld sind Dir denn bekannt ?

Jetty aktiv_icon

11:50 Uhr, 05.10.2011

Ich kenne die Beziehung Integral J *dA.

Muss ich hiermit irgendwie arbeiten ?

BeeGee aktiv_icon

16:46 Uhr, 05.10.2011

Hallo!

Über die Knotenregel kannst Du aufstellen:

\int_{A} \vec{J} d \vec{A} - I_{0} = 0

Im homogenen Erdboden wäre die Stromdichte dann (mit der Kugeloberfläche

A = 4 π r^{2}) :

J (r) = \frac{I_{0}}{4 π r^{2}}

und

\vec{E} (r) = \frac{J (r)}{γ} = \frac{I_{0}}{4 π γ r^{2}} \cdot \vec{e_{r}}

(Radialsymmetrisches Strömungsfeld)

Hilft Dir das weiter?

Wie kannst Du jetzt das Potential aus

\vec{E} (r)

bestimmen?

Jetty aktiv_icon

14:27 Uhr, 06.10.2011

Ich habe das Integral E*dr ausgerechnet und das rausbekommen.

I/ 4pi*gamma * [ 1/r - 1/r0]

Wie berechne ich den Übergangswiderstand R?

Muss ich die Formel R= L /GAMMA* A benutzen?

BeeGee aktiv_icon

15:13 Uhr, 06.10.2011

Gehen wir davon aus, dass der Kugelerder sehr tief, also quasi unendlich tief eingegraben ist (ansonsten müssten wir mit einem Ersatzmodell (Spiegelelektrode oberhalb der Erdoberfläche) rechnen).

Dann ist die Spannung gegen eine unendlich entfernte Elektrode:

U = lim_{r \to \infty} (\int_{r_{0}}^{r} E (r) d r) = lim_{r \to \infty} (\frac{I_{0}}{4 π γ} \cdot [- \frac{1}{r} + \frac{1}{r_{0}}]) = \frac{I_{0}}{4 π γ r_{0}}

Und damit der Widerstand gegen die unendlich entfernte Elektrode ("mit großem Abstand d"):

R_{E} = \frac{U}{I_{0}} = \frac{1}{4 π γ r_{0}}

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15:18 Uhr, 06.10.2011

Ich verstehe allerdings nicht woher es kommt das das r0 immer noch unter dem bruch steht?

BeeGee aktiv_icon

15:26 Uhr, 06.10.2011

\int \frac{1}{r^{2}} = - \frac{1}{r} + c

Wie sollte das

r

dann plötzlich in den Zähler kommen? :-)

Über eine Dimensionskontrolle siehst Du auch:

[4 π] =

dimensionslos

[γ] = Ω^{- 1} \cdot m^{- 1}

[r_{0}] = m

\to [\frac{1}{4 π γ r_{0}}] = Ω

Jetty aktiv_icon

15:28 Uhr, 06.10.2011

Und noch eine kurze frage zu der Aufgabe da sie noch ein bisschen weiter geht. Ich stelle sie mal einfach rein.

Nun wird eine Halbkugel betrachtet, die ebenso als Erder verwendet werden kann.

(4.3) Zeichnen Sie den Verlauf des Potentials an der entstandenen Oberfläche in Abhängigkeit
r vom Mittelpunkt des Erders.
(4.4) Leiten Sie die Schrittspannung zwischen zwei Punkten an der Oberfläche her.

Weiß du wie ich so etwas zeichnen kann.
Das bereitet mir ein wenig probleme .
Wäre sehr dankbar für deine Hilfe.

Jetty aktiv_icon

15:36 Uhr, 06.10.2011

Tut mir leid wenn ich schon wieder abrupt frage .
Aber eine sache von der 4.2 bereitet mir noch kopfschmerzen .
Woher kommt es das U und auch der Widerstand gleich sind das verstehe ich nicht.
Das ergebnis für die Spannung U verstehe ich.

Aber das ergebnis von dem Widerstand R nicht so ganz.

BeeGee aktiv_icon

15:39 Uhr, 06.10.2011

Zu Deiner letzten Frage:

U

und

R

sind doch nicht gleich. Bei

U

steht der Strom

(I_{0})

im Zähler, bei

R

eine 1 (Eins :-). Der Strom wird mittels

R = \frac{U}{I}

weggekürzt.

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15:42 Uhr, 06.10.2011

Ah ok ja.
Kannst du mir noch bitte bei den letzten 2 Aufgabe noch helfen die fallen mir schwer?

BeeGee aktiv_icon

15:50 Uhr, 06.10.2011

Zum Halbkugelerder: hier verteilt sich die Stromdichte nur auf eine Halbkugel mit der Oberfläche

2 π r_{0}^{2}

. Also gilt für das Potential:

Φ (r) = \frac{I}{2 π γ r} = C \cdot \frac{1}{r}

mit

C = \frac{I}{2 π γ} =

const.

Das zu zeichnen ist nicht weiter schwer: eine Hyperbel.

Die Schrittspannung (Schritt zwischen den Radien

r_{1}

und

r_{2})

wäre:

U_{S} = Φ (r_{1}) - Φ (r_{2}) = \frac{I}{2 π γ} \cdot (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})

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15:55 Uhr, 06.10.2011

Mit welcher formel hast du eigentlich das potential berechnet ?

Oder hast du einfach da es sich um eine halbkugel handelt , einfach 4pir^2 durch 2pir^2 ersetzt?

BeeGee aktiv_icon

15:58 Uhr, 06.10.2011

Genau! Herleitung wie oben, nur eben

2 π r^{2}

statt

4 π r^{2}

.

Und dann eben

Φ (r) = - \int E (r) d r

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16:01 Uhr, 06.10.2011

Wie bist du eigentlich so schnell darauf gekommen , dass es sich um eine Hyperbel handelt ? Muss ich die Hyperbel eigentlich nicht nach bestimmten werten zeichnen?

Jetty aktiv_icon

16:07 Uhr, 06.10.2011

Und noch eine frage die bei ir aufgekommen ist .
Sind die Integrationsgrenzen für das Integral Er*dr denn von r bis r0?

Oder benutze ich da überhaupt keine grenzen.
Ich meine wenn man das potential berechnen will?

BeeGee aktiv_icon

16:12 Uhr, 06.10.2011

Der Graph einer Funktion

f (x) = C \cdot \frac{1}{x}

ist doch immer eine Hyperbel, oder ;-) ?

Wenn bestimmte Werte angegeben wären, müsstest Du sie nach diesen zeichnen. Ansonsten reicht eine Skizze für den Verlauf von

Φ (r)

über

r

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16:13 Uhr, 06.10.2011

Für das Potential setzt Du keine Grenzen - die bräuchtest Du für die Spannung

(=

Potentialdifferenz).

Jetty aktiv_icon

16:17 Uhr, 06.10.2011

Beegee ich kriege für das Potential - I/2pi *r raus?

Da ja 1/r^2 integriert - 1/r ergeibt .

Ist es so richtig oder habe ich ein Fehler gemacht ?

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16:17 Uhr, 06.10.2011

Beegee ich kriege für das Potential - I/2pi *r raus?

Da ja 1/r^2 integriert - 1/r ergeibt .

Ist es so richtig oder habe ich ein Fehler gemacht ?

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16:17 Uhr, 06.10.2011

Beegee ich kriege für das Potential - I/2pi *r raus?

Da ja 1/r^2 integriert - 1/r ergeibt .

Ist es so richtig oder habe ich ein Fehler gemacht ?

BeeGee aktiv_icon

16:34 Uhr, 06.10.2011

Da hast Du völlig recht. Da das Potential für

r \to \infty

als Null definiert wird, können wir aber schreiben:

Φ (r) = - \int_{\infty}^{r} E (r) d r

Dann passt's wieder mit dem Minus :-).

Jetty aktiv_icon

00:32 Uhr, 07.10.2011

Aber wieso kommt eigentlich ein minus vor dem Intergral , dass verstehe ich nicht.
Und ich verstehe auch nicht warum man bei der letzten Aufgabe die radien r1 bis r2
benutzen muss ?
Das verstehe ich irgendwie nicht.

BeeGee aktiv_icon

08:21 Uhr, 07.10.2011

Ich versuch's mal über die Arbeit zu erklären: um eine elektrische Ladung

q

in einem E-Feld von

r_{1}

nach

r_{2}

zu bewegen, muss folgende Arbeit aufgewendet werden:

W = \int_{r_{1}}^{r_{2}}

= \int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F} d \vec{r}

F

ist dabei die Kraft, die der vom Feld auf die Ladung

q

wirkenden Feldkraft entgegengesetzt ist. Also ist:

\vec{F} = - q \cdot \vec{E}

D . h

. für positive Ladungen ist

\vec{F}

entgegengesetzt zu

\vec{E}

(das ist so definiert). Also ist die Arbeit, um eine Ladung aus dem Unendlichen zu einer Stelle

r

zu bringen:

W_{r} = \int_{\infty}^{r} \vec{F} d \vec{r} = - q \cdot \int_{\infty}^{r} \vec{E} d \vec{r}

Der Quotient

\frac{W}{q}

hängt also nur noch von der Stelle

r,

sprich der Lage des Punktes ab. Dieser Quotient wird als elektrisches Potential definiert:

Φ (r) = \frac{W_{r}}{q} = - \int_{\infty}^{r} \vec{E} d \vec{r}

Zu Deiner Frage mit

r_{1}

und

r_{2} :

Du wolltest doch die Schrittspannung bestimmen, also die Spannung die zwischen beiden Füßen anliegt, wenn diese einen "Schritt" auseinanderliegen. Ich nahm also an, dass der eine Fuß an der Stelle

r_{1}

und der andere an

r_{2}

liegt und habe die Potentialdifferenz dazwischen berechnet.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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