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Elemente der Automorphismengruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Automorphismengruppe, Automorphismus, Diedergruppe, Gruppen, isomorph, Ordnung, Primzahl, Z/pZ

Lyla93 aktiv_icon

14:42 Uhr, 27.11.2015

Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

i) z.z: Aut(Z/pZ) besitzt genau 1 Element mit Ordnung 2
ii) z.z: Jede Gruppe G mit Ordnung 2p

≃

Z/2p/ oder zu

D_{p}

(mit

D_{p}

Diedergruppe der Ordnung 2p).
In beiden Fällen gilt

p \geq 3

Primzahl.

Zu den Lösungen:
i) Eine Automorphismengruppe = Menge aller Automorphismen mit Struktur Z/pZ zsm. mit einer Komposition. Aber wie komme ich denn jetzt auf die Anzahl und Ordnung der Elemente??

ii) Die zweite Aufgabe habe ich im Internet gefunden, allerdings verstehe ich hier die Vorgehensweise nicht. Meine Fragen/Gedankengänge dazu hab ich mal in Klammern dazu geschrieben:

Nach Sylow-Frobenius gilt: Wenn G eine endliche Gruppe ist (ist sie ja hier, da die Ordnung von G 2p ist) und

p \in I P

, dann hat G eine p-Sylowgruppe (= Untergruppen von G der Ordnung

p^{r}

). Außerdem gilt: Die Anzahl der Untergruppen mit Ordnung

p^{r}

erfüllt:

u_{p^{r}} (G) = 1 (m o d p) .

(Wieso gilt das? Wir haben uns notiert: Anzahl der Sylowgruppen

n_{p}

ist:

n_{p} = \frac{∣ G ∣}{∣ N_{G} (P) ∣} = \frac{[G : P]}{[N_{G} (P) : P]} \Rightarrow n_{P} ∣ [G : P]

. Kann man die obige Behauptung daraus folgern?).
Demnach existieren

a, b \in G

mit ord(a)=p, ord(b)=2 (Wieso? Woher weiß man das jetzt plötzlich?), wobei <a> als Untergruppe vom Index 2 normal ist (Der Index ist ja definiert als: [G:-P)]=|G/P|. Wieso ist jetzt die von a erzeugte Gruppe eine Untergruppe vom Index 2? Und zusätzlich auch noch normal?), also

b a b = a^{k}

für ein

k \in Z

gilt. Es folgt

a = b a^{k} b = (b a b)^{k} = a^{k^{2}}

, daher

k^{2} = 1 (m o d p)

, d.h. k=1(modp) oder k=-1(modp). Im ersten Fall gilt ab=ba und G=<ab>, im zweiten Fall

G ≃ D_{p}

(wieso???)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

DrBoogie aktiv_icon

15:13 Uhr, 27.11.2015

Alle Automorphismen von

Z_{p}

haben die Form

φ_{a} : x \to a x

mit einem

a

aus

Z_{p}^{*} = Z_{p} \ {0}

.
Die Ordnung von

φ_{a}

ist dann die Ordnung von

a

in der multiplikativen Gruppe

Z_{p}^{*}

. Diese Gruppe ist zyklisch, hat also einen Erzeuger

c

, der hat die Ordnung

p - 1

. Da

p

ungerade ist, ist

(p - 1) / 2

eine ganze Zahl und damit hat

c^{(p - 1) / 2}

die Ordnung

2

. Wenn ein anderes Element

b

die Ordnung

2

hat, muss gelten

b^{2} = 1

und

b \neq 1

. Da

c

ein Erzeuger ist, muss

b = c^{j}

gelten mit einem

0 < j < p - 1

. Damit haben

c^{2 j} = 1

. Damit muss

2 j

durch

p - 1

teilbar sein, da

p - 1

die Ordnung von

c

ist. Also,

2 j = (p - 1) k

. Wenn

k = 1

, dann

j = (p - 1) / 2

und

b = c^{(p - 1) / 2}

- dieses Element kennen wir schon. Wenn

k > 1

, folgt

j \geq p - 1

- Widerspruch. Also, es gibt nur ein Element der Ordnung 2.

DrBoogie aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.11.2015

Das sieht für mich zu kompliziert aus.
Der Satz von Sylow sagt auf jeden Fall, dass eine Gruppe der Ordnung

2 p

eine Untergruppe der Ordnung

p

und auch eine Untergruppe der Ordnung

2

hat. So weit einverstanden?
Diese Untergruppen (nennen wir sie

H_{1}

und

H_{2}

) sind zyklisch, weil sie Primzahlen als Ordnung haben. Ist das klar? Wenn nicht, denke darüber nach, das ist nicht kompliziert.
Also gibt's schon Elemente

a

und

b

mit ord(

a) = p

und ord

(b) = 2

.

Weiter.

"wobei <a> als Untergruppe vom Index 2 normal ist (Der Index ist ja definiert als: [G:-P))]=|G/P|. Wieso ist jetzt die von a erzeugte Gruppe eine Untergruppe vom Index 2?"

Weil wenn Du

2 p

durch

p

teilst, kommt wirklich

2

raus.

"Und zusätzlich auch noch normal?"

Jede Untergruppe vom Index

2

ist normal. (Beweis hier auf Seite 14: users.math.uni-potsdam.de~graeter/Algebra.pdf)

"Im ersten Fall gilt ab=ba und G=<ab>, im zweiten Fall (wieso???)"

Schwer zu verstehen, woraus sich Dein "wieso" bezieht.
Du hast im ersten Fall eine abelsche Gruppe, mit

a

von Ordnung

p

und

b

von Ordnung

2

. Es ist leicht zu sehen, dass

a b

die Ordnung

2 p

hat und damit die Gruppe erzeugt. Im zweiten Fall hast Du gerade die Definition der Gruppe

D_{p}

Lyla93 aktiv_icon

15:35 Uhr, 27.11.2015

Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich habe noch ein paar Rückfragen dazu:
1) Wieso entspricht die Ordnung von a in der multiplikativen Gruppe der Ordnung von

φ_{a}

?
2) Woher weiß man, dass

(ℤ^{*} p; *)

zyklisch ist? Und wieso hat dessen Erzeuger die Ordnung p-1 und nicht p?
3) Wieso hat

c^{\frac{p - 1}{2}}

die Ordnung 2?

DrBoogie aktiv_icon

15:53 Uhr, 27.11.2015

Ich empfehle Dir doch Zeit zu nehmen, selber darüber nachzudenken. Du stellt zum Teil sehr einfache Fragen.

Das z.B.: "Und wieso hat dessen Erzeuger die Ordnung p-1 und nicht p?" Bist Du nicht in der Lage, die Anzahl Elemente der Gruppe zu berechnen? Die Gruppe hat Elemente

1, 2, . . ., p - 1

.

1) Weil die Abbildung

a \to φ_{a}

ein Isomorphismus ist.
2) 1. Frage. Das folgt aus dem Satz von Gauß (

Z_{n}^{*}

zyklisch genau dann, wenn

n = 2, 4, p^{k}, 2 p^{k}

). Kann in diesem Fall auch direkt gezeigt werden.
3) Auch eine kindische Frage. Vor allem, da ich den Beweis schon aufgeschrieben habe! Ein Element

b

hat die Ordnung

2

genau dann, wenn

b \neq 1

und

b^{2} = 1

gilt. Mehr brauchst Du nicht zu wissen.

Übrigens, der richtige Link von oben ist
http//www.onlinemathe.de/forum/Elemente-der-Automorphismengruppe

Lyla93 aktiv_icon

16:17 Uhr, 27.11.2015

Tut mir leid wenn dir meine Fragen dumm erscheinen, aber ich stehe da manchmal einfach auf dem Schlauch und es kommt mir immer so vor, als fällt alles vom Himmel. Dass z.B. eine Menge M={1,2,...p-1} insgesamt p-1 Elemente hat ist mir natürlich schon bewusst, es lag eher daran, dass ich dachte, dass die Menge Z*p anders aussieht... Ich hoffe es kommt nicht so rüber als würde ich mich mit den Aufgaben nicht selbst beschäftigen, so ist es nämlich ganz und gar nicht!

Dir vielen Dank für die super Hilfe und für die Beantwortung meiner Fragen!

DrBoogie aktiv_icon

16:23 Uhr, 27.11.2015

Vielleicht kann es helfen, wenn Du einfach mehrfach liest. Denn ich hatte oben

Z_{p}^{*} = Z_{p} \ {0}

stehen, was auch sagt, dass

Z_{p}^{*} = {1, 2, . ., p - 1}

. Das kann man leicht beim einmaligen Lesen übersehen.

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