Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Ellipse: Punkt auf Umfang berechnen

Ellipse: Punkt auf Umfang berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Ellipse, Geometrie

keco89 aktiv_icon

11:12 Uhr, 11.03.2009

Hallo,

ich muss Punkte auf dem Umfang einer Ellipse berechnen. Ich habe ein Kreisdiagramm in der Form einer Ellipse, bei der die Breite exakt doppelt so groß ist wie die Höhe. Jetzt muss ich die Punkte der Segmentenden auf dem Umfang berechnen (also der Punkt auf dem Umfang, der zwischen zwei Segmenten ist). Bekannt ist dabei die Breite und Höhe der Ellipse und der Winkel der einzelnen Segmente im Kreisdiagramm. Wie kann ich nun aus diesen Werten den Punkt berechnen?

Leider weiß ich nicht, wie ich an das Problem herangehe; bei einem Kreis dürfte das wohl kein Problem sein, aber Ellipsen bereiten mir Probleme.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)

Astor aktiv_icon

11:34 Uhr, 11.03.2009

Hallo,
offenbar ist eine Koordinate des Punktes bekannt. y=0 oder

y = y_{o}

Die Gleichung der Ellipse ist auch bekannt. Also müsste es doch klappen.
Gruß Astor

keco89 aktiv_icon

11:49 Uhr, 11.03.2009

Also die Gleichung der Ellipse ist ja $\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1$ . Die Koordinate des Punktes ist nicht bekannt, denn die will ich ja berechnen. Ich verstehe nicht, was du mit dem y=0 meinst?

Nachtrag: Beispiel

In dem Link ist eine Ellipse mit roten Punkten. Davon möchte ich beispielsweise einen roten Punkt berechnen (also dessen Koordinaten). Das wäre dann beispielsweise ein Punkt, der zwischen zwei Segmenten des Kreisdiagrammes ist.

Edddi aktiv_icon

12:18 Uhr, 11.03.2009

...es ist sicherlich unproblematisch, für einen bestimmten Winkel

α,

oder Anstieg

m

die Punktkoordinaten zu berechnen, wenn du noch a und

b

(Halbachsen) gegeben hast.

Aber den Abstand zweier Punkte, oder die genauen Kordinaten aus einem Winkelsegment zu berechnen ist ohne Angabe eines Punktes nicht möglich.
Wie an deiner Skizze zu erkennen variiert der Abstand der Punkte.

Also denkbar wäre folgendes:

Du teilst deine Ellipse in Winkelsegmente zu sagen wir mal 30° auf.

Dies ergäbe die Punkte für alpha=0°

(m = 0),

alpa=30°

(m = 0,577),

alpha=60°

(m = 1,732) u . s . w .

Nun kannst du Ellipsengleichung und Winkel (Anstieg) gleich setzen.

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

und

y = m \cdot x \to y^{2} = m^{2} \cdot x^{2}

Also:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{m^{2} \cdot x^{2}}{b^{2}} = 1

b^{2} \cdot x^{2} + a^{2} \cdot m^{2} \cdot x^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

(b^{2} + a^{2} \cdot m^{2}) \cdot x^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

x^{2} = \frac{a^{2} \cdot b^{2}}{b^{2} + a^{2} \cdot m^{2}}

x = \frac{a \cdot b}{\sqrt{b^{2} + a^{2} \cdot m^{2}}}

....am besten, du rechnest hier nur mit der positiven Wurzel, dann bekommst du genau die richtigen X-Werte.
Die Lösungen der negativen Wurzeln

(z . B

f

. alpha=30°) erhälst du dann automatisch bei alpha=210°

:-)

keco89 aktiv_icon

12:48 Uhr, 11.03.2009

Also erstmal Danke für deine Mühe, aber ich komm gerade gar nicht mit. Ich habe mal eine SKizze angefertigt, die meiner aktuellen Situation entspricht. Siehe unten.

Die weißen Punkte sind die, die ich berechnen muss, sowohl x, als auch y Koordinate. Die verschiedenen Winkel sind alle gegeben (wobei der Anfang das Rote Segment mit der waagerechten Linie ist!). Der Winkel für das Rote Segment ist in dem Falle ca. 42°. Für das grüne Segment (relativ zum Ausgangspunkt) ist ca. 148° (also vom roten Segment ausgehen sind das 106°). Die anderen sind ebenfalls bekannt.

Jetzt ist mir dabei allerdings unklar, wie du den Anstieg berechnet hast. Ja, es scheitert im Moment an dem einfachsten Sachverhalt, verzeihung. Ist heute irgendwie nicht mein Tag, aber ich muss das Problem unbedingt lösen.

Zu deinen berechneten Gleichungen: Das x ist die x-Koordinate des Punktes und y = m * x die y-Koordinate?

586110

586072

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?