Ellipse berechnen mittels vorgegebener Punkte

Die Gleichung einer Ellipse ist: ${\displaystyle \frac{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}+\frac{{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}=1}$

Wenn man darein die n Punkte einsetzt, bekommt man ein überrepräsentiertes Gleichungssystem mit n Gleichungen und den 2 Unbekannten a und b. Wenn die Punkte alle auf einer Ellipse liegen, dann bekommt man Werte für a und b raus. Wenn man als Lösung des Gleichungssystems a und b in Abhängigkeit von einer frei gewählten Variablen bekommt, dann kann man mit der Formel ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ den kleinsten Flächeninhalt dieser Ellipse berechnen.

Habe was neues gefunden:

Die Ellipse lässt sich auch so darstellen:

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ mit ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0}$ und ${\displaystyle 0\le \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ mit ${\displaystyle \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}>0}$ und ${\displaystyle 0\le \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le 2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Also kann man das ganze als Vektor schreiben: ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\end{array}\right)}$. Um einen Vektor zu drehen, muss man ihn mit einer Matrix multiplizieren: ${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)& \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\\ -\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)& \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\end{array}\right)}$

Damit würde sich für die allgemein gedrehte Ellipse ergeben:

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)& \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\\ -\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)& \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\\ \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot (\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)+\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot (\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\\ \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot (\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)-\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\cdot (\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\end{array}\right)}$Hilft dir das vielleicht weiter? Damit müsstest du doch eigentlich aus mehreren x- und y-Werten ein Gleichungssystem basteln können?! Was mich nur stört, ist das t in den Gleichungen ...