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Ellipsoid Raum, Ebene, Normale
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Es seien a, b, c ∈ Zeigen Sie, dass das Ellipsoid eine reguläre Fläche im R³ ist. Bestimmen Sie für einen beliebigen Punkt p ∈ E den Tangentialraum TpE, die Tangentialebene T anpE und die Normale NorpE Betrachten wir zunächst einen beliebigen Punkt p = (x₀, y₀, z₀) ∈ E. Um den Tangentialraum TₚE zu bestimmen, verwenden wir die Implizitfunktionstheorie. Der Tangentialraum TₚE ist der Kern der Jacobi-Matrix (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) an der Stelle p. Berechnen wir also die partiellen Ableitungen: ∂F/∂x = 2x/a² ∂F/∂y = 2y/b² ∂F/∂z = 2z/c² Um den Kern der Jacobi-Matrix zu bestimmen, setzen wir diese Ableitungen gleich Null: 2x/a² = 0 ⇒ x = 0 2y/b² = 0 ⇒ y = 0 2z/c² = 0 ⇒ z = 0 Da die partiellen Ableitungen an der Stelle p = (x₀, y₀, z₀) gleich Null sind, bedeutet dies, dass der Tangentialraum TₚE an diesem Punkt den Nullvektor enthält. Dies bedeutet, dass TₚE ein Vektorraum ist. Um die Tangentialebene TₚE zu bestimmen, verwenden wir die Normalengleichung einer Ebene, die die Jacobi-Matrix einschließt. Der Normalenvektor n der Tangentialebene ist gegeben durch den Gradienten von F an der Stelle p: n = (∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z) = (2x₀/a², 2y₀/b², 2z₀/c²) Da die Jacobi-Matrix den Nullvektor enthält, ist der Normalenvektor der Tangentialebene für jeden Punkt p ≠ 0 eindeutig. Die Normale NorₚE am Punkt p ist dann der Einheitsvektor in Richtung des Normalenvektors n: NorₚE = n/||n|| = (2x₀/a², 2y₀/b², 2z₀/c²)/sqrt((2x₀/a²)² + (2y₀/b²)² + (2z₀/c²)²) Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass das Ellipsoid E eine reguläre Fläche im ℝ³ ist, und wir haben den Tangentialraum TₚE, die Tangentialebene T anₚE und die Normale NorₚE für einen beliebigen Punkt p ∈ E bestimmt. oh man wurde diese Lösung lang aber ist Sie richtig ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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