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Entartete Kegelschnitte
Universität / Fachhochschule
Tags: Entartete Kegelschnitte
 
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Hallo Leute, ich zähle mich inzwischen zu den etwas älteren Jahrgängen, möchte aber möglichst lange geistig fit bleiben. Deshalb befasse ich mich mit verschiedenen mathematischen Fragestellungen. Momentan bin ich hobbymäßig gerade bei den Kegelschnitten. Die Gleichung B*XY beschreibt bekanntlich generell einen Kegelschnitt. Neben den "klassischen" (Kreis, Parabel, Ellipse, Hyperbel) stieß ich in der Literatur aber auch auf sogenannte "entartete" bzw. "zerfallende" Kegelschnitte. Derer gibt es zahlenmäßig offenbar sogar mehr als die "klassischen". Hier mal eine Aufstellung derer, die ich bisher als mathematisch möglich gefunden habe: Punkt Gerade Paar sich schneidender Geraden Paar paralleler Geraden (können ggf. sogar zusammenfallen) imaginäres Geradenpaar mit/ohne Schnittpunkt reeles Geradenpaar mit/ohne Schnittpunkt Parallele zur X-Achse Parallele zur y-Achse imaginäre Ellipse Leider fand ich für nirgends ein einziges Beispiel, das auf irgend einen dieser Sonderfälle führen würde. Daher habe ich keinerlei Vorstellung, wie das geometrisch überhaupt aussehen würde, was man sich darunter vorstellen könnte. Bei dem imaginären Geradenpaar und dessen ggf. auftretenden Schnittpunkt einerseits, und bei der imaginären Ellipse wird die Sache noch undurchsichtiger. Ich weiß weder, wie man eine imaginäre Gerade mathematisch handhabt, geschweige denn derer zwei. Daher weiß ich auch nicht, wie man einen imaginären Schnittpunkt beider bestimmt. Was ist eine imaginäre Ellipse? Kann man sich diese imaginären Objekte (Gerade, Ellipse) irgend wie geometrisch vorstellen? Eine imaginäre Zahl kann man sich ja schließlich auch vorstellen. (Gauß'sche Zahlenebe) PS: Ich bin mit den Grundprinzipien der imaginären und komplexen Zahlen vertraut. Die Gauß'che Zahlenebene ist mir bekannt, ebenso wie die Grundrechenarten im Komplexen. Bis zum Satz des Moivre kann ich evtl. noch folgen, aber ab dann ist Flaute in meinen Segeln. Kann mir jemand für jeden Sonderfall mal ein Beispiel geben, wie und belegt sein müßten, damit er eintritt? Wie können . zwei parallele Geraden entstehen? Nach meiner Anschauung kann dieser Fall doch nur bei einem Zylinder eintreten, wobei die Schnittebene exakt parallel zur Y-Achse verläuft. Wie kann als Kegelschnitt ok. "entarteter Kegelschnitt" etwas herauskommen, das nur bei einem Zylinder möglich ist? Zylinder und Kegel sind doch zwei völlig verschiedene geometrische Körper. Das sieht man doch schon an den jeweiligen Formeln für die Volumenberechnung. Sorry, aber da steige ich nicht wirklich durch. Ich danke vorab schon mal für eure Bemühungen und würde mich riesig über etwas fachliche Aufklärung freuen. Mit ganz netten Grüßen Revilo |
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> Leider fand ich für nirgends ein einziges Beispiel, das auf irgend einen dieser Sonderfälle führen würde. Auwei, da fehlt dir aber auch wirklich jedes Gespür. Zumindest ein paar der Punkte sollte man sofort abhaken können: · Punkt: · Gerade: · Paar sich schneidender Geraden: · Paar paralleler Geraden: Was du mit deinem "imaginärem" Zeugs meinst, weiß ich nicht - vermutlich geht es da um irgendwelche Konstellationen, wo die Kegelschnittgleichung nur komplexe Lösungen hat. |
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Derer gibt es zahlenmäßig offenbar sogar mehr als die "klassischen". Nein, eigentlich gibt es im Grunde hier nur EINEN Fall, nämlich den, dass der Kegelschnitt in zwei Geraden zerfällt - der implizite Funktionsterm also in zwei Linearfaktor aufspaltbar ist. Das können nun zwei verschiedene Geraden sein, die einander schneiden oder auch parallel liegen. Oder die beiden Geraden fallen zu einer zusammen (ähnlich der Doppellösung einer quadratischen Gleichung) oder aber es handelt sich um nicht-reelle Geraden, die sich aber dennoch in einem reellen Punkt schneiden (wenn die Koeffizienten . bis alle reell sind). Ergänzend noch, da dir offenbar auch ein wenig die Vorstellung fehlt, ein Link zu Darstellungen des geometrischen Sachverhalts.Vergiss dabei bitte die Koordinatenachsen, denn die Figuren könnten natürlich beliebig im Raum gedreht und verschoben werden, ohne dass sich an der wesentlichen Geometrie etwas ändern. Auf dieser Seite sind die sechs möglichen Fälle, die es beim Schnitt eines (Kreis-)Kegels mit einer Ebene gibt, dargestellt: http//www.maphi.de/mathematik/kegelschnitte/schnittfiguren.html Die oberste Reihe zeigt die "klassischen" nicht-entarteten Quadriken Ellipse (Kreis ist davon ja nur ein Spezialfall), Parabel und Hyperbel. Die unterste Reihe zeigt die drei möglichen entarteten Fälle. - Punkt (kannst du auch als zwei schneidende imaginäre Geraden sehen) - zwei zusammenfallende Geraden (wenn die Ebene Tangentialebene des Kegels ist) - zwei getrennte, schneidende Gerade Der Fall der zwei parallelen Geraden stellt sich nur ein, wenn die Kegelspitze ins Unendliche wandert, also der Kegel zu einem Zylinder wird. Der ebene Schnitt is jetzt "normalerweise" eine Ellipse, aber ist die Schnittebene parallel zu den Erzeugenden (bzw. zur Zylinderachse), dann stellen sich je nach Abstand der Ebene zur Zylinderachse in Bezug auf den Zylinderradius - zwei getrennte, parallele Geraden, - ein paar zusammenfallender Geraden (wieder wenn die Ebene eine Tangentialebene ist), - oder ein paar paralleler, imaginärer Geraden ein. Entartete Fälle stellen sich also genau dann ein, wenn die Schnittebene die Kegelspitze (im Falle eines Zylinders ein Fernpunkt) enthält. Bei der rechnerischen Behandlung wirst du bei einer allgemeinen Gleichung der Quadrik um die sog. Hauptachsentransformation (hatten wir, glaube ich, schon in einem anderen Thread) nicht herum kommen. Denn auf den ersten Blick sieht man es vermutlich nicht an, dass es sich da um zwei schneidende Geraden handelt. Woher ich das trotzdem weiß? Weil ich es als Produkt zweier Linearfaktoren konstruiert und dann einfach ausmultipliziert habe. Der von HAL9000 genannte Fall stellt zwar eine Gerade dar, aber keinen zerfallenden Kegelschnitt, weil es sich ja um keine Quadrik handelt. Lässt sich aber leicht durch Angabe von reparieren ;-) Jetzt liegt die Gerade doppelt zu zählend vor. Auch stellt zwei zusammenfallende Geraden dar, weil das einfach ist EDIT: Ach ja, weil du ja konkret nach zwei verschiedenen, aber parallelen Geraden gefragt hast, zwei weitere Beispiele dazu: denn das ist und stellt somit die beiden Parallelen zur x-Achse im Abstand von dieser dar denn das ist und stellt somit in expliziter Darstellung die beiden Geraden (gleiche Steigung, unterschiedlicher Ordinatenabschnitt) und dar. |
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Hallo Roman-22, vielen Dank für deine Antwort. Sie hat mir sehr weitergeholfen. Dieses Aufspalten in zwei Linearfaktoren, also in zwei Klammerterme, hat mich sehr beeindruckt. Das scheint ein sehr mächtiges "Werkzeug" zu sein. Dieses Aufspalten kenne ich nur aus der 2. binom. Formel: eben mit den beiden Größen a und Deine Linearfaktoren enthalten aber jeweils drei Größen. Wie hast du das gemacht? Gibt es da ein allgemeines, rechnerisches Prinzip? Du hast dieses Aufspalten bei den entarteten Kegelschnitten in's Gespräch gebracht. Geht das nur dort oder kann man grundsätzlich jede allg. Kegelschnittgleichung so aufspalten? Ich habe (quasi im Umkehrschluß) folgende Vermutung: Wenn das Aufspalten funktioniert, ist es ein entarteter Kegelschnitt, andernfalls ein "klassischer". Vermute ich da richtig? Ich habe mal versucht, das "zufuß" durchzurechnen. Dabei seien die kleinen Buchstaben etwas anderes als die Großen. Gleichung 1: (ax+by+c)*(dx+ey+f) führt nach ausmultiplizieren und Koeff.-Vergleich . mit bzw. zur Gleichung 2: (allgem. Kegelschnittgleichung) Soweit völlig klar, aber wie dreht man "den Spieß" um, wie kommt man von Gleichung 2: zur Gleichung so wie du es offenbar gemacht hast? Gruß Revilo |
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Deine Linearfaktoren enthalten aber jeweils drei Größen. Wie hast du das gemacht? Gibt es da ein allgemeines, rechnerisches Prinzip? Es geht um Linearfaktoren, die und evt. auch eine Konstante enthalten können, daher . drei Summanden. Wie ich es gemacht habe, hatte ich ja geschrieben. Ich habe mir erst zwei Linearfaktoren ausgedacht und die dann miteinander multipliziert. Für den umgekehrten Weg gibts kein einfaches Zerlegungsverfahren. Du hast dieses Aufspalten bei den entarteten Kegelschnitten in's Gespräch gebracht. Geht das nur dort oder kann man grundsätzlich jede allg. Kegelschnittgleichung so aufspalten? Wenn dich der Term in zwei Linearfaktoren zerlegen lässt, dann bedeutet das automatisch, dass der Kegelschnitt in zwei Geraden zerfällt (reell verschieden, zusammenfallend oder auch nicht-reell Punkt) Ich habe (quasi im Umkehrschluß) folgende Vermutung: >Wenn das Aufspalten funktioniert, ist es ein entarteter Kegelschnitt, andernfalls ein "klassischer". Vermute ich da richtig? Ja, genau so ist es (ax+by+c)*(dx+ey+f) Ja, aber beachte, dass die Koeffizienten hier auch nicht-reell sein können und dann liegen eben nicht-reelle Geraden vor, dh. der einzige reelle Teil der Quadrik ist ein einzelner Punkt. Damit deine . dann doch wieder reell sind, müssen a und und sowie und konjugiert zueinander sein. zB führt auf und stellt damit ein Beispiel für den Fall, dass die Quadrik in zwei nicht-reelle Geraden zerfällt, dar. Der reelle Punkt ist hier übrigens . Soweit völlig klar, aber wie dreht man "den Spieß" um, wie kommt man von Gleichung 2: zur Gleichung so wie du es offenbar gemacht hast? Nein, das hab ich nicht gemacht. Ich bin, wie schon erwähnt, von der Zerlegung ausgegangen und habs dann nur ausgerechnet. Für den umgekehrten Weg gibts keine einfache Methode. Um von einer allgemeinen Kegelschnittsgleichung auf den Typ zu schließen, also darauf, ob es sich um Ellipse, Parabel, Hyperbel, zwei Geraden, 1 (Doppel)gerade, 1 Punkt nicht-reelle Geraden) handelt, und dann auch noch Kenngrößen wie halbe Haupt- und Nebenachsen .ä. zu bestimmen, führt man idR eine sogenannte Hauptachentransformation rechnerisch durch. Dabei wird der Kegelschnitt so gedreht, dass sein Achsen danach parallel zu den Koordinatenachsen liegen und dann noch so verschoben, dass der Mittelpunkt in den Ursprung gelangt. In dieser Lage erhält man dann eine deutlich einfachere Gleichung, der man die gewünschten Informationen direkt entnehmen kann. Allerdings ist das rechnerisch doch eine aufwändige Prozedur mit ein paar Fallunterscheidungen, die es zu berücksichtigen gibt. Da es bei Arndt Brünner ja nahezu alles gibt, gibts bei ihm auch einen Rechner für die Hauptachsentransformation - die Interpretation des Ergebnisses bleibt allerdings dem geneigten Benutzer überlassen. www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenmatrix.htm nach unten scrollen, unter "Quadriken". |
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Hallo Roman-22, Kompliment. Du gibst dir wirklich sehr viel Mühe, mir bei diesem Thema das "Laufen" beizubringen. Das verdient meine höchste Anerkennung. Bitte verzeih mir, wenn ich dich unnötig nerve. Aufrichtiges Sorry. Ich tue es ja nicht aus Absicht, sondern lediglich aus fachlicher Unkenntnis. Ganz offensichtlich liegt es an mir selbst. Ich sehe dieses Problem als unnötig kompliziert an, denke daher zu kompliziert, und formuliere deswegen auch meine Fragen unnötig kompliziert. >Denn auf den ersten Blick sieht man es >6x2−2y2−x⋅y+x+11y−15=0 >vermutlich nicht an, dass es sich da um zwei schneidende Geraden handelt. >Woher ich das trotzdem weiß? Weil ich es als Produkt zweier Linearfaktoren konstruiert >(2x+y−3)⋅(3x−2y+5)=0 >und dann einfach ausmultipliziert habe. Wie, bzw. woran konntest du (quasi auf Anhieb) aus XY ersehen, daß es sich in die beiden Linearfaktoren (2x+y−3)⋅(3x−2y+5)=0 zerlegen/aufspalten läßt? Das kann doch nicht einfach eine Frage des "Bauchgefühls" gewesen sein. Ich bin ein visueller Typ. Ich muß etwas mit eigenen Augen sehen, um es wirklich nachvollziehen und begreifen zu können. Daher meine Bitte, auch wenn sie dir unnötige Mühe bereiten sollte: Kannst du mir wirklich Schritt für Schritt (ohne logische Sprünge) darlegen, wie du . Zerlegung in besagte Linearfaktoren vorgenommen hast? Andernfalls werde ich diesen Aspekt wahrscheinlich nie wirklich begreifen. Wir sind schon sehr gut vorangekommen. Bitte laß mich jetzt "quasi auf der Zielgeraden" nicht hängen. Mit netten Grüßen Revilo |
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Wie, bzw. woran konntest du (quasi auf Anhieb) aus 6⋅x2−2⋅y2− XY +X+11⋅Y−15=0 ersehen, daß es sich in die beiden Linearfaktoren (2x+y−3)⋅(3x−2y+5)=0 zerlegen/aufspalten läßt? Das kann doch nicht einfach eine Frage des "Bauchgefühls" gewesen sein. Nein, das war keineswegs Bauchgefühl ;-) Wenn mir jemand Y−15=0 hinknallt, dann hätte ich zunächst auch keine Ahnung, um welche Art von Quadrik es sich da handeln könnte und dass man den Linksterm in zwei Linearfaktoren aufspalten kann. Um das herauszufinden, müsste ich eben zB eine Hauptachsentransformation durchführen bzw. es von einem Tool wie dem auf der Arndt Brünner Seite durchführen lassen. Das sieht dann so aus wie im Anhangbild und an der Hauptachsenform erkennt man sofort die beiden reellen, Ursprungsgeraden. Man könnte sie ja zu umformen. Ich habe mir also nicht den quadratischen Ausdruck 6⋅x2−2⋅y2− XY +X+11⋅Y−15 ausgedacht und genialerweise einen erwischt, der sich in Linearfaktoren (noch dazu ganzzahlig) zerlegen lässt, sondern habe mit im Gegenteil einfach zwei beliebige lineare Faktoren ausgedacht, eben und und diese miteinander multipliziert um dir eine Quadrik präsentieren zu können, die in zwei reelle Geraden zerfällt.  |
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Hallo Roman-22, vielen Dank für deine bisherige Hilfe. Ich habe aber noch einige Nachfragen. Ich weiß zwar, was eine Matrix ist. Den Begriff "Quadrik" habe ich aber noch nie gehört. Ist das nichts weiter als eine quadratische Matrix, also eine Matrix mit gleicher Anzahl von Zeilen und Spalten? Deinem Rat folgend habe ich mal bei Arndt Brünner reingeschaut. Dabei stieß ich auf zwei weitere mir unbekannte Begriffe (Eigenwert und Eigenvektor). Was ist das und wie hängen sie mit der Kegelschnittdikussion zusammen? Welchen Einfluß haben diese Begriffe auf die Art des jeweiligen Kegelschnitts? Sorry, aber das sind Zusammenhänge, die ich leider noch nicht begriffen habe. Arndt Brünner gibt darüber leider auch keine wirklich anschauliche Erklärung. Ich bekomme zwar ein Ergebnis geliefert, weiß aber nicht, was es bedeutet und wie ich es einordnen muß um letztlich bestimmen zu können, um was für einen Kegelschnitt es sich handelt. Hier geht bei mir leider noch vieles durcheinander. Der Aha-Effekt wollte sich noch nicht so wirklich einstellen. Offenbar ist sogar eine sogenannte "Charakteristische Gleichung 3. Grades" nötig. Ich habe keine Ahnung, wie man soetwas auflöst. Ganz ehrlich: Ich hätte nie gedacht, daß eine Kegelschnittdiskussion derart kompliziert und arbeitsaufwändig sein könnte. Aber ich möchte dennoch nicht das "Handtuch" werfen. Nur wer aufgiebt, hat letztlich wirklich verloren. Mit netten Grüßen Revilo |
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Eine Quadrik im Zweidimensionalen ist einfach eine Kegelschnitt oder eben auch ein zerfallender - gnauer: die Menge aller die eine allgemeine quadratischen Gleichung in zwei Variablen erfüllen. Begriffe wie diesen kann man in Internet auch suchen und oft ist ein Wikipedia-Eintrag unter den ersten Fundstellen de.wikipedia.org/wiki/Quadrik Welchen Einfluß haben diese Begriffe auf die Art des jeweiligen Kegelschnitts? Keinen. Sie ändern die Art des Kegelschnitts überhaupt nicht, denn das wär ja schlimm. Aber mittels einer Hauptachsentransformation wird ein neues Koordinatensystem so angepasst and den Kegelschnitt gelegt, dass man dessen Typ in der Gleichung mit den neuen Koordinaten sofort ablesen und erkennen kann. Man kann es auch so sehen, dass der Kegelschnitt im bestehenden Koordinatensystem so gedreht und verschoben wird, dass seine Gleichung in der neuen Lage besonders einfach ist. zB wird eine Ellipse oder Hyperbel dadurch so gelegt, dass ihr Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und die Koordinatenachsen Haupt- und Nebenachse des Kegelschnitts sind. Die Hauptachsentransformation gehört als Koordinatentransformation in den Bereich der Linearen Algebra und dort ist das Rechnen mit Matrizen und deren Eigenwerten und Eigenvektoren quasi "tägliches Brot". Ist alles keine Hexerei, aber wenn man diese Begriffe noch nie gehört hat, kann das sicher schon verwirren. Da ein Forum wie dieses aber auch nicht dazu geeignet ist, lange Vorlesungen zu halten und das auch zu aufwändig wäre, würde ich dich diesbezüglich gerne auf eine Internetrecherche verweisen. Die Wikipedia kann da vielleicht ein erster Anlaufpunkt sein de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation aber zielführender sind möglicherweise auch andere Fundstellen und vor allem Fachbücher, die die gewünschten Kapitel behandeln. Letztere sind zum Teil ja auch im Internet verfügbar, wobei ich sie aber gedruckt und gebunden bevorzuge - sei es gekauft aus der Buchhandlung oder einer Bibliothek entliehen. Und ja, ich hab schon mitbekommen, dass es Amazon & Co. gibt, aber die Buchhandlung vor Ort unterstütze ich doch viel lieber und fühle mich dort auch gleichermaßen recht wohl so wie auch in Bibliotheken. |
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