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Entwicklungssatz von Laplace

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinanten Berechnung aus einer 4 x 4 Matrix, laplace

vik0809 aktiv_icon

19:36 Uhr, 03.07.2013

Hallo,

Ich habe den Entwicklungssatz von Laplace bezogen auf eine

4 x 4

Matrix nicht ganz verstanden.

Gegeben ist folgende Aufgabe:

(\begin{matrix} 1 & 2 & - 3 & 5 \\ 2 & 6 & 2 & - 3 \\ 0 & 2 & 4 & - 5 \\ 0 & 3 & 6 & 1 \end{matrix})

Aus dieser Matrix soll die Determinante berechnet werden.

Ich weiß, dass man die Spalte/Zeile mit der größten Anzahl von 0en auswählen soll, um den Zeitaufwand so gerin wie möglich zu halten. In diesem Fall streiche ich also die 1. Spalte. Nun werden davon die Unterdeterminanten abgezogen bzw. addiert. Doch woher weiß ich, ob ich die Determinante abziehen oder addieren muss? Und mit welcher Zahl muss die jeweilige Unterdeterminante multipliziert werden?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Femat aktiv_icon

11:28 Uhr, 04.07.2013

Du streichst also die erste Spalte. Heisst, du entwickelst nach der ersten Zeile.
Vorzeichen wechseln ab.

+ - + -

(das schreib ich mir jeweils oben hin)
also 1*Unterdeterminante - 2*Unterdeterminante

+

-3*Unterdeterminante -5*Unterdeterminante
Die Unterdeterminanten geben

170

- 136

- 102

__{_}__{_}

Det

= - 68

Femat aktiv_icon

14:28 Uhr, 04.07.2013

Ergänzung:
Eigentlich hab ich etwas geschlafen.
Du wolltest wohl nach der ersten Spalte entwickeln, weil man da dank zwei Nullen nur zwei Unterdeterminanten berechnen braucht.
Alles andere läuft analog.

1 \cdot (24 - 30 - 36 + 36 - 4 + 180) = 170

- 2 \cdot (8 + 45 + 60 - 60 + 60 + 6) = - 238

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Det

= - 68

vik0809 aktiv_icon

19:19 Uhr, 06.07.2013

Vielen Dank

vik0809 aktiv_icon

19:25 Uhr, 06.07.2013

Ich habe nochmal eine Aufgabe des gleichen Typs. Jedoch komme ich bei dieser nicht weiter, da sie größer als

4 x 4

ist.

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & - 3 & 3 & 2 \\ - 1 & 0 & 0 & 5 & 7 \\ 1 & 0 & 3 & 2 & 1 \end{matrix})

Nun würde ich die 2. Spalte streichen, da diese viele 0en hat. Jedoch wie kann ich Matrizen größer als

3 x 3

berechnen?

Femat aktiv_icon

07:31 Uhr, 07.07.2013

Ok du entwickelst nach der zweiten Spalte.
Brauchst wegen der 4 Nullen nur eine Unterdeterminante zu rechnen.
Aber dummerweise ist diese eine

4 x 4

Matrix also musst du schon für diese den Laplace bemühen.
Gibt dann

- 61

Diese musst du ja mal

- 2

nehmen
Die gesuchte Det ist also

- 2 \cdot (- 61) = 122

vik0809 aktiv_icon

23:42 Uhr, 07.07.2013

Vielen vielen Dank Femat. Ich hab nicht nur das mit den Determinanten/Unterdeterminanten richtig verstanden, sondern kam auch auf das gleiche Ergebnis. Aber gibt ziemlich viel Arbeit.

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