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Epsilon-Umgebung und der Begriff "unendlich"
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen, Reihen
 
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Hallo liebe Community, ich habe ein Verständnisproblem bezüglich den Folgen. In allererster Linie möchte wissen, aus welcher Zahlenmenge das Epsilon ist (wenn man von einer Epsilon-Umgebung spricht, . bei Häufungspunkten etc.)? Nach langer Überlegung kann Epsilon nur aus der Menge der natürlichen Zahlen sein, da ja auch die Indizierung der Folgenglieder mit natürlichen Zahlen erfolgt. Oder? Na gut, sollte also nun das Epsilon eine natürliche Zahl sein, verstehe ich dann die folgende Erklärung für ein Häufungspunkt nicht: "Wenn in jeder Epsilon-Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder liegen, so ist a ein Häufungspunkt von 0." Was sind unendlich viele Folgenglieder? Würde man das Epsilon mit 1 wählen, gäbe es doch höchstens 2 Folgenglieder in der Epsilon-Umgebung? Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, das ist mitnichten eine natürliche Zahl. Zwar betrachtet man in jedem -Umgebungsbeweis alle möglichen (dazu gehören auch alle natürlichen Zahlen), in der Regel sind aber gerade die sehr kleinen 's von Interesse. So auch im HP-Fall. Eine -Umgebung um einen Punkt entspricht dem Inneren einer -dimensionalen Kugel (für ist das eine Scheibe, für eine Kugel etc.) vom Raduis , sofern man die euklidische Metrik zugrunde legt. Nun liegen bei einem HP unendlich viele Folgeglieder im Inneren einer jeden solchen Kugel, und zwar ganz egal, wie klein ich den Radius wähle (deswegen zeigt man diese Eigenschaft immer für alle ). Einfacher gesagt: . gruß Sina |
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natürlich ist alles richtig, was sina86 sagt. aber vielleicht möchte ich noch ein bisschen spezieller auf deine fragen eingehen: zuerstmal ist eine beliebige positive reelle zahl, denn man vergleicht ja die folgenWERTE mit diesem und diese sind ja in der regel aus (allerdings kann man dasselbe auch nur mit rationalen zahlen machen, wenn man die reellen . noch nicht eingeführt hat) - du kannst dir merken, immer wenn ein zahlbereich auf irgendeine art mit oder angegeben ist ohne mehr darüber zu sagen (dazu zählen dann . auch intervalle), dann ist damit eine teilmenge der reellen zahlen gemeint (oder je nach kontext vllt rationale, aber eher selten). es ist sehr gut dass du ein problem mit dieser definition des häufungspunktes hast, also insbesondere mti dem wort "unendlich", denn das wird meiner meinung nach viel zu oft viel zu unvorsichtig gebraucht. wenn du in der analysis auf das unendliche stößt gibt es aber in der regel keine probleme damit. man muss sich nur die bedeutung bewusst machen: hier bedeutet es (wie so oft), dass es zu jeder endlichen menge von gliedern, welche diese eigenschaft erfüllen, eine größere (ober)menge mit eben dieser eigenschaft gibt. also du kannst sozusagen immer größer werden - wenn mans so sagen will. das und nichts anderes bedeutet hier unendlichkeit. lg |
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