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Ereignisse A,B,C

Universität / Fachhochschule

Tags: Ereigniss

She-Ra aktiv_icon

16:36 Uhr, 18.02.2015

Hallo,

ich sitz grad an der folgenden Aufgabe...

gegeben:

A, B, C

unabhängige Ereignisse und

P (A) = p, P (B) = q, P (C) = r

gesucht:

P ((\bar{A} \cap \bar{B}) \cup \bar{C})

Lösung:

Es gilt

: P (\bar{A}) = 1 - P (A), P (\bar{B}) = 1 - P (B), P (\bar{C}) = 1 - P (C)

P ((\bar{A} \cap \bar{B}) \cup \bar{C})

= P ((\bar{A} \cup \bar{C}) \cap (\bar{B} \cup \bar{C}))

= P (\bar{A} \cup \bar{C}) \cdot P (\bar{B} \cup \bar{C})

= [P (\bar{A}) + P (\bar{C}) - P (\bar{A} \cap \bar{C})] \cdot [P (\bar{B}) + P (\bar{C}) - P (\bar{B} \cap \bar{C})]

wegen Unabhängigkeit gilt:

= [1 - P (A) + 1 - P (C) - (1 - P (A) \cdot 1 - P (C))] \cdot [1 - P (B) + 1 - P (C) - (1 - P (B) \cdot 1 - P (C))]

= [(1 - p) + (1 - r) - (1 - p) \cdot (1 - r)] \cdot [(1 - q) + (1 - r) - (1 - q) \cdot (1 - r)]

ist das richtig so ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

19:10 Uhr, 18.02.2015

Hossa :-)

(\bar{A} \cap \bar{B}) \cup \bar{C} = \bar{A \cup B} \cup \bar{C} = \bar{(A \cup B) \cap C}

P ((\bar{A} \cap \bar{B}) \cup \bar{C}) = 1 - P ((A \cup B) \cap C) = 1 - P ((A \cup B)) \cdot P (C) = 1 - (P (A) + P (B)) \cdot P (C) = 1 - (p + q) \cdot r

Ok?

She-Ra aktiv_icon

19:54 Uhr, 18.02.2015

Hallo,

Em ne nicht ganz

- . -

nehmen wir mal an dem Ansatz stimmt, wie geht's dann hier weiter?

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) ...

. So und weil die unabhängig sind gilt

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A) \cdot P (B),

also den Schnitt von A und

B

hast du doch vergessen oder jedenfalls sehe ich das bei dir nicht?

Dann wäre doch

1 - P (A \cup B) \cdot P (C)

= 1 - [P (A) + P (B) - P (A \cap B)] \cdot P (C)

= 1 - [P (A) + P (B) - P (A) \cdot P (B)] \cdot P (C)

= 1 - [(p + q) - (p \cdot q)] r

Irgendwie ist das alles komisch

- . -

Was sagst du dazu?

DerDepp aktiv_icon

01:12 Uhr, 19.02.2015

Ja stimmt, du hast Recht. Ich habe mich vertan. Sorry.

DrBoogie aktiv_icon

09:54 Uhr, 19.02.2015

Dieser Übergang:

P ((\overline{A} \cup \overline{C}) \cap (\overline{B} \cup \overline{C})) = P (\overline{A} \cup \overline{C}) \cdot P (\overline{B} \cup \overline{C})

ist nicht gerechtfertig. Wer sagt, dass

\overline{A} \cup \overline{C}

und

\overline{B} \cup \overline{C}

unabhängig sind?

Es geht aber einfach mit Hilfe der Formel

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

(das sind andere

A, B

, nicht aus der Aufgabe):

P ((\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}) = P (\overline{A} \cap \overline{B}) + P (\overline{C}) - P (\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})

und heir kann man die Unabhängigkeit nutzen:

P ((\overline{A} \cap \overline{B}) \cup \overline{C}) = P (\overline{A}) P (\overline{B}) + P (\overline{C}) - P (\overline{A}) P (\overline{B}) P (\overline{C}) =

= (1 - p) (1 - q) + (1 - r) - (1 - p) (1 - q) (1 - r)

DerDepp aktiv_icon

10:22 Uhr, 19.02.2015

Ja, dann haben wirs, das Ergebnis von DrBoogie ist dasselbe wie

1 - [(p + q) - (p \cdot q)] r

She-Ra aktiv_icon

10:23 Uhr, 19.02.2015

Hallo DrBoogie,

ja super danke dir, genau so hab ich mir das vorgestellt :-)

@DerDepp ja das kann auch vielleicht Zufall sein, es geht halt genau darum was @DrBoogie geschrieben hat, bezüglich der Unabhängigkeit... Wo kommt die ins Spiel, und das tut sie dann genau in diesem Fall...

Ich bin mir bei diesen Umformungen auch immer nicht so ganz sicher, weil man halt irgendwie auf ein Ergebnis kommt, was dann vielleicht richtig ist aber die Umformungschritte gar nicht so benutzt werden dürfen usw.

Aber das ist voll gut, dass wir uns darüber unterhalten können :-)

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