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Erklärung des Begriffes Gradient

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Erklärung

theotter aktiv_icon

17:05 Uhr, 07.05.2011

Könnte mir jemand des Begriff Gradient bitte anschaulich erklären??
Ich habe schon im Internet geguckt und mir einiges durchgelesen,aber ich verstehe die Erklärung nicht.
ICh weiß, dass es ein Vektor ist und iwas mit dem Anstieg einer Funktion in einem speziellen Punkt zutun hat, ich hoffe zumindest dass es etwas damit zutun hat.XD
Ein Bild wäre echt großartig zur Beschreibung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ericsatie76 aktiv_icon

18:30 Uhr, 07.05.2011

Der Gradient zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs. Auf einer Landkarte steht der Gradient senkrecht zu den Höhenlinien in Richtung der positiven Höhenänderung.

Lg Jan

theotter aktiv_icon

11:22 Uhr, 08.05.2011

Ok, und wie kann ich den Punkt mit dem stärksten Anstieg berechnen??
Warum soll eigentlich der Gradient zu den Höhenlinien senkrecht sein??

ericsatie76 aktiv_icon

11:48 Uhr, 08.05.2011

Man berechnet keinen Punkt, sondern ein Vektorfeld. Wetterkarten sind

z . B

. Gradientenfelder. Die Windrichtung zeigt von den Tiefdruckgebieten zu den Hochdruckgeb gebieten. In Windrichtung ist die Windstärke am größten. Senkrecht dazu hingegen 0.

Man bildet als erstes die partiellen Ableitungen

\frac{δ f (\vec{x})}{δ x_{i}}

\vec{v}

ist nichts anderes als die Liste der Varibalen. Bsp.:

f (x, y)

Da aber das Alphabet sich sehr schnell erschöpft, nummeriert man die

x

lieber durch.

\frac{δ}{δ x_{i}}

bedeutet nur, dass alle Variabeln

\neq x_{i}

als Konstante betrachtet werden und die Funktion nach

x_{i}

abgeleitet wird.

Bsp.:

f (x, y) = x^{2} +

2xy

+ y^{2}

\Rightarrow \frac{δ f (x, y)}{δ x} = f_{x} (x, y) = 2 x + 2 y

\Rightarrow \frac{δ f (x, y)}{δ y} = f_{y} (x, y) = 2 x + 2 y

\Rightarrow

grad(f(x,y))

= (2 x + 2 y, 2 x + 2 y)

theotter aktiv_icon

15:24 Uhr, 09.05.2011

Ist das deine Ausgangsfunktion

f (x, y) = x 2 +

2xy

+ y 2

oder

x^{2} + y^{2}

oder hast du ne quadratische Ergänzung gemacht?
Du sagtest doch:
"δδxi bedeutet nur, dass alle Variabeln ≠xi als Konstante betrachtet werden und die Funktion nach

ξ

abgeleitet wird."
Du leitest dann aber

x

und

y

gleichzeitig ab, wodurch du

2 x + 2 y

erhälst.
Das ist mir jetzt nicht ganz so klar.
Was bringt mir dann das Ergebnis:grad(f(x,y))

= (2 x + 2 y,2 x + 2 y)

bzw. was kann ich jetzt damit machen??
lg theotter

ericsatie76 aktiv_icon

23:20 Uhr, 09.05.2011

Nein, ich hatte nur eine Funktion als Beispiel genommen, bei der besser ersichtlich wird, was mit den Unbekannten

x_{j}

mit

j \neq i

beim Differenzieren

\frac{δ f}{δ x_{i}}

passiert. Das wäre aus der Funktionsgleichung

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

nicht so schnell klar geworden.

\frac{δ x^{2} + 2 x y + y^{2}}{δ x} = \frac{δ x^{2}}{δ x} + \frac{δ 2 x y}{δ x} + \frac{δ y^{2}}{δ} x = 2 x + 2 y + 0

Das Geleiche für

\frac{δ}{δ y}

Es stimmt schon, dass es so aussieht, als ob ich gleichzeitig nach

x

und

y

abgleitet hätte. Vielleicht war das auch unglücklich gewählt.

Beispiel:

f (x, y) = x^{3} - x^{2} y^{2}

\Rightarrow f_{x} = 3 x^{2} - 2 x y^{2}

und

f_{y} = x^{2} 2 y

\Rightarrow

grad (f)

= (3 x^{2} - 2 x y^{2}, x^{2} 2 y)

Betrachtet man

z . B

. eine Wanderkarte mit Höhenlinien, dann stehen die Gradienten senkrech zu den Höhenlinien und weisen in Richtung Berspitze. Der Betrag also die Länge der Vektoren ist gleich der Steigung.
Während man

z . B

. auf einer Landkarte mit

f (x, y)

die Höhe bestimmt, bestimmt man mit grad(f) die Steigung an der Position

x, y

.
Siehe Beispielbild. Leider ohne Gradienten aber mit Höhenlinie und Seitenansicht.

LG

theotter aktiv_icon

12:29 Uhr, 10.05.2011

Aha!
Das macht natürlich dann Sinn.
Die Gleichungen die man am Schluss erhält berechnen dann das Vektorfeld??
Also die Ableitung nach

x

halt den x-Vektor und nach

y

den

y

Vektor an einem Punkt mit P(x,y)??
lg theotter

ericsatie76 aktiv_icon

02:40 Uhr, 11.05.2011

Fast. Die Ableitung nach

x

den x-Anteil des Gradientenvektor und nach

y

den ay-Anteil. (Kann aber sein, dass Du das so gemeint hast.)

In der Elektrotechnik würde man damit

z . B

. das elektrischen Feld in der Strömungsmechanik die Strömung eines Stoffes beschreiben. Die Ausgangsfunktion

f (x, y)

beschreibt dann das Potentialfeld (Spannung, Druck, usw.). Ein recht spannender aber auch schwieriger Bereich in der Technik.

Lg Jan

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