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Ermitteln der partikulären Lösung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: e-Funktion, Gewöhnliche Differentialgleichungen

rodler17 aktiv_icon

12:03 Uhr, 09.12.2015

Bei meiner Differentialgleichung gibt es eine Störfunktion

h (x) = 1 + x^{2} + 10 sin (x)

. Um die partikuläre Lösung zu bestimmen, muss man alles durch e-Funktionen ausdrücken. 1 und

10 sin (x)

ist klar, nur wie kann ich

x^{2}

als e-Funktion ausdrücken. Ich habe es jetzt mit

x^{2} \cdot e^{x} \cdot e^{- x}

probiert, bin mir jedoch nicht sicher ob es nicht einen schöneren Weg gibt. Für das ganze hätte ich dann:

h (x) = e^{0 x} + x^{2} \cdot e^{x} \cdot e^{- x} + 5 i \cdot (e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x})

Mit dem ganzen ermittle ich dann meine partikuläre Lösung deswegen wäre es schön wenn ihr mir hier helfen könntet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Eva88 aktiv_icon

12:12 Uhr, 09.12.2015

x^{2} = e^{ln (x^{2})}

rodler17 aktiv_icon

12:16 Uhr, 09.12.2015

Ach ja klar, so einfach wäre es gewesen. Aber was ist in diesem Fall mein lamda ? Da ich nur die Form e^lamda*x kenne, für den Lösungsansatz.

Eva88 aktiv_icon

12:19 Uhr, 09.12.2015

Weiß ich nicht. Wollte nur bei der Umformung von

x^{2}

helfen.

rodler17 aktiv_icon

12:19 Uhr, 09.12.2015

Okai danke, vielleicht kann mir noch jemand anders helfen.

ledum aktiv_icon

15:37 Uhr, 09.12.2015

Hallo
gibt es einen Grund die Störfunktion als Exponentialfunktionen zu schreiben? ist das ne Vorschrift. oder warum machst du das?
je nach Lösung der homogenen Gleichung ist doch für

x^{2} + 1

der Ansatz ax^2+b zielführend?
bei

sin (x)

der Ansatz

a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x)

falls die nicht Lösung des homogenen Systems sind
Gruß ledum

rodler17 aktiv_icon

15:55 Uhr, 09.12.2015

Damit sollte man herausfinden ob die verschiedenen Lamda, Nullstellen der homogenen Differentialgleichung sind. Dadurch weiß man ober der normale Fall oder der Resonanzfall vorliegt und kann dem entsprechend die partikuläre Lösung aufstellen.

Wir haben es halt bis jetzt in der Uni so gemacht, ich weiß nicht ob es noch einen anderen Weg gibt.

ledum aktiv_icon

19:45 Uhr, 09.12.2015

Hallo
die homogene Dgl hat doch immer Lösungen der Form e^(cx)

c

komplex.
es sei denn du hast

y^{n} = 0

dann hast du Polynome.
in Resonanz können aber nur Lösungen derselben Form wie die der homogenen Dgl sein. wenn du also deren Lösung hast und da nicht

x^{2}

vorkommt wo soll dann Resonanz sein?
Gruss ledum

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