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Erwartungswert berechnen für gezogene Kugeln

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

xas33 aktiv_icon

09:43 Uhr, 12.03.2018

Hallo zusammen. Ich muss eine Aufgabe lösen, welche ich echt nicht verstehe.

Die Aufgabenstellung ist:

Man hat

20

Kugeln. 3 orange,

10

rote, 5 grüne und 2 blaue.
Es wird

4 x

gezogen, ohne zurücklegen. Unterscheiden kann man zwischen den Kugeln einer Farbe nicht.

Wie berechne ich den Erwartungswert, für die Zufallsvariablen von

X

und

Y (X

misst die Anzahl der gezogenen roten Kugeln,

Y

die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln), ohne ein Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten zu zeichnen? (Der wäre riesig)

Danke für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:58 Uhr, 12.03.2018

Die Frage ist, was ist hier mit Erwartungswert genau gemeint.

EW (blau) = keine, eine, oder zwei blaue ??

Wie verstehst du die Frage?

xas33 aktiv_icon

10:02 Uhr, 12.03.2018

Also zuerst musste man die Zufallsvariablen

X

und

Y

definieren. Diese können die Werte

X = (0,1,2,3,4)

und

Y = (0,1,2)

annehmen.
Von diesen soll der Erwartungswert berechnet werden. Ich verstehe es so, dass bspw. bei

X

gefragt ist, wie wahrscheinlich es ist dass man 0 rote Kugeln zieht, dass man 1 rote Kugel zieht, dass man 2 rote kugeln zieht...bis 4 rote kugeln. Und dann die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine dieser Möglichkeiten eintrifft.

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10:12 Uhr, 12.03.2018

" Ich verstehe es so, dass bspw. bei

X

gefragt ist, wie wahrscheinlich es ist dass man 0 rote Kugeln zieht, dass man 1 rote Kugel zieht, dass man 2 rote kugeln zieht...bis 4 rote kugeln."

Damit berechnest du aber konkrete WKten und keine Erwartungwerte.
Ich würde es auch so machen,aber begrifflich korrekt wäre das wohl nicht.
Die Aufgabe macht für mich so keinen Sinn.
Wie lautet die Aufgabe im Original?

xas33 aktiv_icon

10:16 Uhr, 12.03.2018

Es steht lediglich, "Was sind die Erwartungswerte für

X

und Y?" Mehr nicht.

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10:24 Uhr, 12.03.2018

Schau mal hier:
www.frustfrei-lernen.de/mathematik/erwartungswert.html

Man braucht also die WKTen.

xas33 aktiv_icon

10:44 Uhr, 12.03.2018

Okay, dann muss ich das wohl oder übel machen. Danke für die Antwort.

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10:48 Uhr, 12.03.2018

Du kannst hier auch die Hypergeometrische Verteilung nehmen.
Der Aufwand dürfte derselbe sein. :-)

Bummerang

14:41 Uhr, 12.03.2018

Hallo,

die Aufgabe, den Erwartungswert von

X

zu ermitteln, könnte man sich ganz einfach machen:

Es gibt

10

rote Kugeln und

10

nichtrote Kugeln. Der Erwartungswert für rote Kugeln und der Erwartungswert für das Gegenereignis, also für nichtrote Kugeln, muss deshalb gleich sein. Da beide Ereignisse rot oder nichtrot den gesamten Ereignisraum füllen, muss bei 4 gezogenen Kugeln der Erwartungswert jeweils die Hälfte von 4 betragen, also

2!

Aber klassisch berechnet man wie folgt:

Für den Werwartungswert braucht man die Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse. Bei

X

gibt es, weil es genauso viele rote Kugeln gibt, wie es auch nichtrote Kugeln gibt, die Besonderheit, dass

P (X = 0) = P (X = 4) = \frac{(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix})} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{14}{323}

P (X = 1) = P (X = 3) = \frac{(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix})} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot 10 \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{80}{323}

P (X = 2) = \frac{(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix})} = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{135}{323}

oder geschickter:

P (X = 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) - P (X = 3) - P (X = 4)

P (X = 2) = 1 - 2 \cdot P (X = 0) - 2 \cdot P (X = 1) = 1 - 2 \cdot (\frac{14}{323} + \frac{80}{323})

P (X = 2) = 1 - 2 \cdot \frac{94}{323} = \frac{323}{323} - \frac{188}{323} = \frac{135}{323}

\Rightarrow

= 0 \cdot \frac{14}{323} + 1 \cdot \frac{80}{323} + 2 \cdot \frac{135}{323} + 3 \cdot \frac{80}{323} = 4 \cdot \frac{14}{323} = \frac{0 + 80 + 270 + 240 + 56}{323} = \frac{646}{323} = 2

Aber das haben wir ja sowieso erwartet!

Beim

Y

ist es anders:

P (Y = 0) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 4 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix})} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{60}{95}

P (Y = 1) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 3 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix})} = 2 \cdot \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{1 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{2 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{32}{95}

P (Y = 2) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 18 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 4 \end{matrix})} = \frac{18 \cdot 17}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 4}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17} = \frac{3}{95}

oder einfacher:

P (Y = 2) = 1 - P (Y = 0) - P (Y = 1) = 1 - \frac{60}{95} - \frac{32}{95} = \frac{95}{95} - \frac{92}{95} = \frac{3}{95}

\Rightarrow

= 0 \cdot \frac{60}{95} + 1 \cdot \frac{32}{95} + 2 \cdot \frac{3}{95} = \frac{0 + 64 + 6}{95} = \frac{70}{95} = \frac{14}{19}

anonymous

13:03 Uhr, 13.03.2018

Hallo
Kleine Anmerkung/Korrektur:
korrekt war noch
EY

= 0 \cdot \frac{60}{95} + 1 \cdot \frac{32}{95} + 2 \cdot \frac{3}{95}

jetzt leider ein kleines Schusselfehlerchen:

= \frac{38}{95} = \frac{2}{5}

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