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Erzeugendensystem prüfen

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angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Vektorraum

DTH92 aktiv_icon

19:32 Uhr, 14.02.2016

Guten Abend,

ich möchte überprüfen, ob folgende Vektoren ein Erzeugendensystem im

ℝ^{2}

sind:

v_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

v_{3} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})

Wenn sie ein EZS sind, kann man ja jeden Vektor im

ℝ^{2}

mit Linearkombinationen von

v_{1}, v_{2}, v_{3}

darstellen.

Ich würde also

a \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})) + b \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + c \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

erhalten.

Jetzt habe ich die Gleichungen

- a = x

und

a + b + 2 c = y

.
Jetzt weiß ich nicht genau, wie man weitermacht?
Ich habe ja jetzt 5 Variablen..ich erhalte für

a = - x,

für

b = y - 2 c - a

und

c = \frac{y - a - b}{2}

Aber ich habe ja jetzt noch nichts gezeigt, oder doch?

Bitte um Hilfe:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

IPanic aktiv_icon

19:46 Uhr, 14.02.2016

Hallo,
wie du siehst, ist einer der Parameter nicht gebunden, also ein freier Parameter. Dann existieren unendlich viele Lösungen, also bilden deine 3 Vektoren ein Erzeugendensystem des

ℝ^{2}

.

Wenn das dir unklar ist, dann nutze doch den Gauß Algorithmus (und überführe vorher dein LGS in eine Koeffizientenmatrix), dann siehst du, dass du 1 Spalte ohne Stufe hast. Ihr habt wahrscheinlich bewiesen, dass dann unendlich viele Lösungen existieren.

Eine alternativer Beweis ist die lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren nachzuweisen, denn die Dimension des

ℝ^{2}

ist 2. Findest du zwei linear Unabhängige Vektoren, bilden diese automatisch ein Erzeugendensystem des

ℝ^{2}

DTH92 aktiv_icon

19:51 Uhr, 14.02.2016

Hey,

was meinst du mit "freier Parameter"?

a = - x

?
Ich sehe irgendwie nicht daraus den Beweis, dass jetzt ALLE Vektoren aus

ℝ^{2}

gebildet werden können

: (

Zu deiner letzteren Aussage: Also sind 2 linear unabhängige Vektoren IMMER ein EZS im RR^2?Und geht das auch für den

ℝ^{3}

IPanic aktiv_icon

21:34 Uhr, 14.02.2016

Hi, Dim

ℝ^{n} = n

.
Im

ℝ^{3}

bilden also drei linear unabhängige Vektoren immer ein Erzeugendensystem.

Bezüglich deiner Lösung nochmal:
Aus deiner ersten Zeile folgt direkt, dass

- a = x \Leftrightarrow a = - x

Dann hast du in der zweiten Zeile stehen

- x + b = y \Leftrightarrow b = x + y

Dann hättest du direkt eine Lösung und wüsstest sofort, dass diese Vektoren ein Erzeugendensystem des

ℝ^{2}

sind (wähle

c = 0

dann). Es sollte also trivial sein, zu sehen, dass diese Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, auch wenn du nicht das Wissen über Dimensionen besitzt.

Falls du Wissen über Dimensionen besitzt:
Betrachten wir mal das homogene lineare Gleichungssystem

A \cdot z = 0

. Das habe ich gleich mal in die Koeffizientenmatrix überführt.

(\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix})

Nun befindet sich das homogene LGS in Zeilenstufenform. Ich habe jetzt ignoriert, dass du eigentlich ein inhomogenes Gleichungssystem lösen willst, welches die Gleichung

A \cdot z = b,

mit

z = (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

und

b = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

erfüllt. Man sieht sofort, dass die beiden Zeilenvektoren linear unabhängig sind, der Rang der Matrix also 2 ist und du somit auch zwei linear unabhängige Spaltenvektoren hast. Ab hier wäre man schon fertig wenn man weiß, dass Dim

ℝ^{2} = 2

Falls du das nicht siehst, dann solltest du nach den Umformungen sehen, dass das homogene LGS unendlich viele Lösungen (eine würde auch genügen) hat, man ist also immer in der Lage einen beliebigen Vektor darzustellen(Wenn eine Nullzeile enstanden wäre, dann wäre das ganze natürlich nicht sofort klar). Also ist egal was da jetzt rechts noch stehen würde..

Bezüglich des freien Parameters siehst du, dass die erste und die zweite Spalte eine Stufe haben. Alle Spalten ohne Stufe können als freie Parameter betrachtet werden.
Beispiel: Lösungsmenge des obigen homogenen linearen Gleichungssystem

A \cdot z = 0

In diesem Fall würde man also

c

frei wählen

c := t \in ℝ

Rückwärtseinsetzen liefert:

b + 2 \cdot t = 0 \Leftrightarrow b = - 2 t

- a = 0 \Leftrightarrow a = 0

L (A,0) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 t \\ t \end{matrix}) = t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})

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