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Euklidische Norm berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: euklidische Norm, Vektor

Lalaloopsi aktiv_icon

14:14 Uhr, 29.01.2020

Berechne die euklidische Norm des Vektors

x

mit

x = 2^{\frac{k}{2}}

für

1 \leq k \leq n

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Sukomaki aktiv_icon

16:14 Uhr, 29.01.2020

Wie ist denn die euklidische Norm definiert?

Ein Tipp zur weiteren Rechnung : geometrische Reihe.

Gruß
Maki

Lalaloopsi aktiv_icon

17:17 Uhr, 29.01.2020

Norm ist doch die länge eines vektors oder?

| | x | | = \sqrt{< x, y >}

Aber geometrische reihe ist mir unklar. Kenne das nur in bezug mit summenformel

Sukomaki aktiv_icon

17:44 Uhr, 29.01.2020

Fast.

Die Länge eines Vektors ist

∥ x ∥ = \sqrt{< x, x >}

Mit

x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

ist

< x, x > = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}

(Definition des Skalarprodukts)

Hier kommt die Summe, in deren Zusammenhang Du die geometrische Reihe kennst, ins Spiel.

Anmerkung : Ich nehme an, dass in der Aufgabenstellung

x_{k} = 2^{\frac{k}{2}}

gemeint
ist (also mit

k

im Index).

x

ist nämlich der Vektor und

x_{k}

eine Komponente des Vektors.

Lalaloopsi aktiv_icon

17:53 Uhr, 29.01.2020

Okee, kannst du mir das mit der summe dann erklären? Und ja genau, da stand xk

Sukomaki aktiv_icon

18:13 Uhr, 29.01.2020

Also gut,

x_{k} = 2^{\frac{k}{2}}

Das heisst,

x_{1} = 2^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x_{1}^{2} = (2^{\frac{1}{2}})^{2} = 2^{\frac{2}{2}} = 2^{1}

x_{2} = 2^{\frac{2}{2}} \Rightarrow x_{2}^{2} = (2^{\frac{2}{2}})^{2} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

\dots

x_{n} = 2^{\frac{n}{2}} \Rightarrow x_{n}^{2} = (2^{\frac{n}{2}})^{2} = 2^{\frac{2 n}{2}} = 2^{n}

Oder allgemein :

x_{k} = 2^{\frac{k}{2}} \Rightarrow x_{k}^{2} = (2^{\frac{k}{2}})^{2} = 2^{\frac{2 k}{2}} = 2^{k}

(Dabei benutze ich die Rechenregeln für Potenzen)

Also ist

< x, x > = 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n}

Die Formel für die geometrische Reihe ist :

q^{0} + q^{1} + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}

In diesem Fall ist

q = 2

. Der Wert der geometrischen Reihe ist also

\frac{2^{n + 1} - 1}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1

.

Du musst aber noch

2^{0} = 1

davon abziehen weil dieser Summand nicht im Skalarprodukt vorkommt.

Insgesamt bekommst Du

2^{n + 1} - 1 - 1 = 2^{n + 1} - 2

.

Weisst Du, wie Du nun auf die euklidische Norm (Länge des Vektors) kommst?

Lalaloopsi aktiv_icon

18:30 Uhr, 29.01.2020

Erstmal vielen vielen vielen lieben dank

!!!!!!!!

:-))) Ich habe als geometrische summenformel

\sum_{k = 0} \frac{1}{1 - q}

in erinnerung, hab dann also

- 2

heraus. Und ich nehme mal an, dass das die norm ist? Oder?

Sukomaki aktiv_icon

19:08 Uhr, 29.01.2020

Dreimal nein :-(

1.Es heißt

\sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}

und gilt nur für

∣ q ∣ < 1

\frac{1}{1 - 2} = - 1

und nicht

- 2

.
Aber wenn Du von der

- 1

Eins abziehst, hast Du Recht.

3. Das ist nicht die Norm. Etwas komplizierter ist es schon, aber eigentlich musst Du ja nur noch die Wurzel ziehen.

Die Norm ist also

\sqrt{2^{n + 1} - 2} .

Und dass

- 2

nicht die Länge eines Vektors sein kann,ist leicht einzusehen. Es sei denn, Du hältst ein Lineal zwischen zwei Punkte, so dass die Null auf dem einen Punkt liegt und das Lineal zeigt

- 2

an :-).

Lalaloopsi aktiv_icon

22:13 Uhr, 29.01.2020

Wusste gar nicht dass die eine formel für geometrische reihe nicht für alle zahlen gilt

Und ja ich hab 1 abgeszogen und deswegen

- 2

heraus

Und das ergebnis sieht sehr komisch aus mit dem

n : (

trotzdem danke echt!!! Du bist voll cool :-)

Sukomaki aktiv_icon

22:25 Uhr, 29.01.2020

> Du bist voll cool
Dank Dir.

Weißt Du, wenn Du Mathematik betreibst, gewöhnst Du Dich mit der Zeit an komische Anblicke :-)

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