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Euklidischer Algorithmus anwenden

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Erweiterter Euklidischer Algorithmus, Linearkombination, polynom

finley0104 aktiv_icon

12:14 Uhr, 19.08.2020

Hallo,
folgende Aufgabe soll ich lösen:

"Stellen Sie mittels des erweiterten euklidischen Algorithmus

x^{3} + 2 x

als

ℚ

-Linearkombination von

x^{4} - 4

und

x^{5} + 2 x^{3} + x^{2} + 2

dar."

Kann mir jemand von euch helfen und mir beschreiben, wie ich an dieser Stelle vorgehen muss?
Meine Ansätze ist u.a. die Bezout-Darstellung zu nutzen, indem ich zuerst den ggT einer Gleichung mit der anderen berechne. Jedoch weiß ich nicht, wie genau ich dies anschließend als Linearkombination darstellen muss.

Würde mich über jede Antwort freuen! Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

12:22 Uhr, 19.08.2020

mathsci2.appstate.edu~cookwj/sage/algebra/Euclidean_algorithm-poly.html

Dieses Tool wird alles für dich machen.

finley0104 aktiv_icon

12:25 Uhr, 19.08.2020

Hallo,
leider beantwortet es meine Frage dennoch nicht. Ich würde die Aufgabe schon gern verstehen.
Wie muss ich denn vorgehen, sodass ich das erste Polynom bezüglich des zweiten und des dritten darstellen kann?

Liebe Grüße

DrBoogie aktiv_icon

12:41 Uhr, 19.08.2020

Der Euklidische Algorithmus liefert nebenbei auch die Darstellung

g g t (a, b) = c a + d b

mit irgendeinen

c, d

(dabei können

a, b

Zahlen oder Polynome sein, das Vorgehen ist gleich).

Ich zeige es an einem einfachen Beispiel.

Sei

a = x^{3} + 2

b = x^{2} + 1

.
Teile

a

durch

b

mit Rest:

x^{3} + 2 = x (x^{2} + 1) + 2 - x

.
Teile

x^{2} + 1

durch

2 - x

mit Rest:

x^{2} + 1 = (2 - x) (- 2 - x) + 5

.
Teile

2 - x

durch

5

mit Rest:

2 - x = 5 (2 / 5 - x / 5)

.
Also,

g g T (a, b) = 5

oder auch jede andere Zahl (bei Polynomen ist

g g T

nur bis auf einen Vorfaktor eindeutig).

Wie kann ich

5

als lineare Kombination von

a

und

b

schreiben?
Aus der vorletzten Zeile habe ich

5 = x^{2} + 1 - (2 - x) (- 2 - x)

.
Aus der Zeile davor geht

2 - x = x^{3} + 2 - x (x^{2} + 1)

. Wenn ich das jetzt in der vorherigen Gleichung einsetze, bekomme ich

5 = x^{2} + 1 - (x^{3} + 2 - x (x^{2} + 1)) (- 2 - x) = b - (a - x b) (- 2 - x) = b (1 - x (2 + x)) + a (2 + x)

.
Das ist die gesuchte lineare Kombination.

finley0104 aktiv_icon

12:56 Uhr, 19.08.2020

Okay! Vielen lieben Dank!!

finley0104 aktiv_icon

13:51 Uhr, 19.08.2020

Ich habe an dieser Stelle doch nochmal eine Frage.
Muss ich hierbei nun zuerst

x^{5} + 2 x^{3} + x^{2} + 2

durch

x^{4} - 4

teilen um zu schauen, ob ich

^+ 2

erhalte oder wie genau muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Wäre lieb, wenn Sie mir noch den ersten Schritt verraten....

DrBoogie aktiv_icon

14:00 Uhr, 19.08.2020

"Muss ich hierbei nun zuerst x5+2x3+x2+2 durch x4−4 teilen"

Ja. Teilen mit der Rest. Wenn du damit Probleme hast, kuck den Link, den ich oben gepostet habe. Da werden alle Einzelschritte aufgezeigt.

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