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Existenz einer Grenzmatrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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Angenommen ich habe eine Matrix A und es existiert eine Grenzmatrix lim A^n = G. Muss A dann zwangsläufig eine stochastische Matrix sein? Hab da gerade im Internet nichts gefundenen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, ein Beispiel ist eine idempotente, nicht-stochastische Matrix. Gruß pivot |
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Okay, ja stimmt. Aber sonst keine, oder? Hab ich das richtig verstanden, dass bei einer stochastischen Matrix A mit Grenzmatrix G, jeder beliebige Startvektor a gegen den Grenzvektor g konvergiert? Und bei nicht stochastische Matrizen kann es keinen Grenzvektor geben? |
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Es gibt jede Menge Matrizen, wo der Grenzwert die Nullmatrix ist, und die weder stochastisch noch idempotent sind. Ein einfaches Beispiel ist mit der Einsermatrix sowie , da ist , was zweifelsohne gegen die Nullmatrix konvergiert. EDIT: Da habe ich wohl zu kompliziert gedacht - es geht natürlich auch mit der Einheitsmatrix und dann mit . ;-) Für eine genauere Charakterisierung, was "geht" und was nicht, sollte man seinen Fokus wohl auf die Eigenwertstruktur von legen. |
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Danke! Das bei einer Grenzmatrix die Spalten auch gleich dem Fixvektor sind, tritt aber nur bei stochastischen Matrizen auf, oder? |
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Was meinst du mit "Fixvektor" ? |
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Für den Fixvektor x gilt A*x=x |
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Einen solchen Fixvektor ungleich Null gibt es nur, wenn Matrix Eigenwert 1 besitzt. Und selbst dann muss er noch lange nicht eindeutig sein, selbst mit Normierungsbedingung nicht - im Fall der Einheitsmatrix erfüllen beispielsweise alle Vektoren diese Eigenschaft. Von "DEN" Fixvektor zu sprechen ist also im allgemeinem Fall ziemlich abwegig. ----------------------------------------------------------------------------------- Ich hab mir mal ein paar grundlegende Gedanken über die Konvergenz von gemacht, basierend hauptsächlich darauf, dass ein Eigenwert von zwingend den Eigenwert von zur Folge hat: 1) Existiert ein Eigenwert von mit , so konvergiert nicht. 2) Gilt für alle Eigenwerte entweder oder , und ist für letzteren algebraische Vielfachheit gleich geometrischer Vielfachheit, so konvergiert , und die Grenzmatrix lässt sich leicht aus der Jordan-Zerlegung von folgern. Spezialfall: Taucht dabei gar nicht auf, dann ist zwingend . Soweit lässt sich das alles relativ einfach nachweisen. Die Frage ist, ob auch folgendes gilt: 3) In allen anderen Fällen konvergiert nicht. Darunter sind solche Matrizen mit Eigenwert -1 bzw. auch anderen komplexen Eigenwerten . Stochastische Matrizen gehören entweder zu Fall 2) (mit existentem Eigenwert ) oder 3), d.h. es gibt ja durchaus auch stochastische Matrizen ohne Konvergenz von , beispielsweise . |
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Mit den Angaben von Hal9000 habe ich folgende nicht-stochastische Matrix erstellt: Dann ist Die Eigenwerte sind 1 und 1/2, die Eigenvektoren und |
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Richtig, wir bekommen hier Diagonalisierung , daraus entsprechend mit Grenzwert , was dem Resultat von HJKweseleit entspricht. Übrigens, was die erwähnte Idempotenz betrifft: muss es nicht sein, Grenzwertmatrix (so sie denn existiert) allerdings schon. |
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