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Explizite Abbildungsvorschrift einer Projektion

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Abbildung, explizit, Linear Abbildung, Projektion, vorschrift

Kadaxda aktiv_icon

15:58 Uhr, 14.12.2024

Sei

W 1 =

span

{

(1,0,0,0),

(0,1,0,0)}

und

W 2 =

span

{

(1,1,1,0),

(1,1,1,1)}

und

V = R 4

Geben Sie die explizite Projektion

P

an, die entlang

W 1

auf

W 2

projiziert.

Mein Lösungsvorschlag:

Nach Definition gilt:

P (w 1 + w 2) = w 2

(weil entlang

w 1)

mit

w 1

element

W 1, w 2

element

W 2

w 1 = (α, β, 0, 0)

und

w 2 = (γ + δ, γ + δ, γ + δ, δ)

P (α + γ + δ, β + γ + δ, γ + δ, δ) = (γ + δ, γ + δ, γ + δ, δ)

Daraus folgt:

Von

α + γ + δ

auf

γ + δ

muss man den

α

wert minus

α

rechnen, also 0

Von

β + γ + δ

auf

γ + δ

muss man

β

wert minus

β

rechnen, also 0

γ + δ

auf

γ + δ

muss man nichts machen, also bleibt

γ

gleich

δ

auf

δ

auch ebenso

also lautet die vorschrift

(x, y, z, w) \to (0, 0, z, w)

.

Kann das stimmen? :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:20 Uhr, 14.12.2024

Das Bild von

ℝ^{4}

unter der Projektion soll doch in

W_{2}

liegen - das ist aber bei Dir nicht der Fall - oder?

Kadaxda aktiv_icon

18:54 Uhr, 15.12.2024

Bild(P)

= P (R^{4}) =

{

: v

element

R^{4}}

Nimmt man ein beliebiges

v

aus

R^{4},

dann muss es nach der Abbildung in

W 2

liegen.

v = (1,2,3,4)

T ((1,2,3,4))

wird mit meiner Vorschrift auf

(0,0,3,4)

abgebildet.

Zu prüfen:

(0,0,3,4)

element von span

{

(1,1,1,0),

(1,1,1,1)}

(0,0,3,4) = α \cdot (1,1,1,0) + β \cdot (1,1,1,1)

In Matrixnotation:

110

110

113

014

Von unten beginnend:

β = 4, α = 3 - β \Rightarrow - 1, α + β = 0

(Widerspruch)

Hat keine Lösung und daher ist

(0,0,3,4)

nicht element

W 2

.

Somit kann man bereits sagen, dass meine Projektion falsch ist.

Kadaxda aktiv_icon

19:05 Uhr, 15.12.2024

Ich denke, dass ich meinen Fehler nun sehe.

P (v) = P (w 1 + w 2) = w 2

Für einen beliebigen Vektor

v

gilt:

(v 1, v 2, v 3, v 4) = (v 1 - v 3) \cdot (1,0,0,0) + (v 2 - v 3) \cdot (0,1,0,0) + (v 3 - v 4) \cdot (1,1,1,0) + v 4 \cdot (1,1,1,1)

wobei

w 1 = (v 1 - v 3) \cdot (1,0,0,0) + (v 2 - v 3) \cdot (0,1,0,0) + (v 3 - v 4)

und

w 2 = (v 3 - v 4) \cdot (1,1,1,0) + v 4 \cdot (1,1,1,1)

w 2 = (v 3, v 3, v 3, v 4)

Daher

P (v 1, v 2, v 3, v 4) = (v 3, v 3, v 3, v 4)

Also lautet die Vorschrift

v 1 \to v 3, v 2 \to v 3, v 3 \to v 3, v 4 \to v 4

Jetzt würde der Beispiel Vektor

(1,2,3,4)

auf

(3,3,3,4)

abgebildet werden

Zu prüfen:

(3,3,3,4)

element von span

{

(1,1,1,0),

(1,1,1,1)}

(3,3,3,4) = - 1

⋅(1,1,1,0)+ 4⋅(1,1,1,1)

\to

passt

Dennoch würde ich gerne wissen, ob man mit meinem ursprünglichen Vorgehen auch erfolg haben hätte können.

pwmeyer aktiv_icon

11:53 Uhr, 16.12.2024

Hallo,

aus Deiner Berechnung

(v 1, v 2, v 3, v 4) = (v 1 -

v3)⋅(1,0,0,0)+(v2 - v3)⋅(0,1,0,0)+(v3 - v4)⋅(1,1,1,0)+v4⋅(1,1,1,1)

folgt

P(v)=(v3−v4)⋅(1,1,1,0)+v4⋅(1,1,1,1)=(v3,v3,v3,v4)

Das ist also richtig.

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