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Explizite Darstellung in Polarkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Tags: Kartesischen Koordianten, Polarkoordinaten

Kansaki aktiv_icon

17:24 Uhr, 19.01.2014

In dem Mathe TN den ich gerade so bestanden habe gibt es einige Aufgaben die ich nicht lösen konnte, aber gerne können würde.
Leider weiß ich nicht, wie ich zum Beispiel bei dieser Aufgabe überhaupt verfahren sollte:

Gegeben ist die implizite Gleichung einer Funktion in kartesischen Koordianten:

(2x)² - 2xy

+

(2y)²

- 4 = 0

Wie lautet die explizite Darstellung dieser Funktion in Polarkoordianten?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

18:11 Uhr, 19.01.2014

y = r \cdot sin (φ)

x = r \cdot cos (φ)

Kansaki aktiv_icon

04:15 Uhr, 20.01.2014

Dank der Schnellen Antwort kam ich immerhin schon mal weiter.

Aber erstmal habe ich dazu noch eine Frage:

Wie kommt man darauf wie

x

und

y

definiert sind in diesem Beispiel? Ist das so festgelegt oder steckt da eine Überlegung hinter?

Jedenfalls habe ich dann mal gerechnet. Ich werde alles reinschreiben und versuchen zu erklären, warum ich das alles so gemacht habe.

(2x)² - 2xy

+

(2y)²

- 4 = 0

//Grundformel

I.

[2 \cdot r \cdot

sin(φ)

]

- 2 \cdot

sin(φ)

\cdot

cos(φ)

+ [2 \cdot r \cdot cos

(φ)

]

- 4 = 0

II.

4 \cdot r \cdot

sin²(φ)

+ 4 \cdot r \cdot

cos²(φ)

- 2 \cdot r \cdot

sin(φ)

\cdot

cos(φ)-

4 = 0

//Umgestellt, da sin²(φ)+ cos²(φ)= 1

III.

4 r \cdot

[

sin²(φ)

+

cos²(φ)]

- 2 \cdot r \cdot

sin(φ)

\cdot

cos(φ)

- 4 = 0

IV.

4 r - 2 \cdot r \cdot

sin(φ)

\cdot \sqrt{1 -}

sin²(φ)

= 4

//Formel aus II. nach

cos

umgestellt, die Wurzel soll auch über das sin² reichen.

Das habe ich bisher. Ich weiß, wenn man die Formel aus "II. //" umstellt steht vor der Wurzel

\pm

. Allerdings weiß ich nicht welches Vorzeichen man nutzen muss, da ich nicht weiß, in welchem Quadranten man sich befindet. Also handel ich einfach nach Try and Error.
Das Problem, wie soll man jetzt weiter machen? Das

4 r - 2 r

kann man noch nicht zusammenfassen. Ich muss das sin(φ) noch wegbekommen. Wenn ich allerdings die Wurzel aus IV. ziehe, habe ich entweder

1 -

sin(φ) stehen, oder

(1 -

sin(φ)). Ist ja ein Unterschied. Zumal ich, wenn ich der Lösung glauben darf, ich habe mir nämlich alle möglichen Lösungen zu der Frage abgeschrieben, am ende unter dem Bruchstrich eine Wurzel benötige. Die ganze Aufgabe wäre keine Problem, wenn vor der Wurzel nicht das sin(φ) wäre. Gibt es eine Möglichkeit, dass sich das irgendwo rauskürzen kann

o

.ä., was ich einfach nur übersehen habe?

Kann man aus sin²(φ) auch sin(2φ) machen?

Oder habe ich mich total verrechnet?

Respon

08:28 Uhr, 20.01.2014

Der oben genannte Zuordnung liegt die Definition der Polarkoordinaten zugrunde.
http//de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Umrechnung_von_Polarkoordinaten_in_kartesische_Koordinaten
Hier mal eine mögliche Umformung

{(2 \cdot x)}^{2} - 2 \cdot x \cdot y + {(2 \cdot y)}^{2} - 4 = 0

{(2 \cdot r \cdot cos (φ))}^{2} - 2 \cdot r^{2} \cdot sin (φ) \cdot cos (φ) + {(2 \cdot r \cdot sin (φ))}^{2} - 4 = 0

4 \cdot r^{2} \cdot {cos}^{2} (φ) - 2 \cdot r^{2} \cdot sin (φ) \cdot cos (φ) + 4 \cdot r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) - 4 = 0

4 \cdot r^{2} \cdot ({sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ)) - 2 \cdot r^{2} \cdot sin (φ) \cdot cos (φ) - 4 = 0

Jetzt werden folgende Formeln verwendet:

{sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ) = 1

und

2 \cdot sin (φ) \cdot cos (φ) = sin (2 \cdot φ)

4 \cdot r^{2} - r^{2} \cdot sin (2 \cdot φ) - 4 = 0

r^{2} \cdot (4 - sin (2 \cdot φ)) = 4

r^{2} = \frac{4}{4 - sin (2 \cdot φ)}

Das wäre bereits eine explizite Darstellung, Wurzelziehen ist nicht unbedingt erforderlich.

Der Graph deiner Funktion ist eine Ellipse ( nicht achsenparallel ).
Hier der Graph für beide Darstellungen

Kansaki aktiv_icon

15:27 Uhr, 20.01.2014

Bist Du dir sicher?

Wenn das die richtige Lösung ist, dann müsste der Professor einen Fehler gemacht haben, da es diese Lösung so gar nicht zur Auswahl gab. Was ich mir bei einem TN allerdings nicht vorstellen kann. Vielleicht, wenn auch unwahrscheinlich, habe ich beim abschreiben der möglichen Lösungen einen Fehler gemacht. Ich werde mir Dein Ergebnis mit Lösungsweg notieren und meinen Professor fragen.

Danke für Deine Hilfe.

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