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Explizite Darstellung rekursiv definierte Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: explizite Darstellung, rekursive folge

MiniMilk aktiv_icon

22:54 Uhr, 29.10.2008

Mal wieder eine Aufgabe, die ich einfach nicht verstehe. Leider kenne ich das Wort rekursiv gar nicht, also könnte mir evtl auch jemand das Wort erklären und einen Ansatz bzw. Lösungsweg nennen und ich versuche es dann selbst.

Aufgabe: Für die rekursiv definierten Folgen $(a_{n})$ beweise man jeweils die angegebene explizite Darstellung.

1. $a_{0} = 2, a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}}, n \geq 1.$ Dann ist $a_{n} = \frac{n + 2}{n + 1} \forall n \in N$

2. $a_{0} = 0, a_{1} = 1, a_{n} = \frac{1}{2} (a_{n - 1} + a_{n - 2}), n \geq 2.$ Dann ist $a_{n} = \frac{2}{3} (1 - {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}}) \forall n \in N$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bamamike aktiv_icon

00:09 Uhr, 30.10.2008

Fü den Anfang schau mal bei Wikipedia unter Rekursion nach. IMHO hilft das erst einmal sehr gut.

MiniMilk aktiv_icon

00:35 Uhr, 30.10.2008

Hm, so richtig hilft mir das jetzt nicht weiter. Zum Beispiel weiß ich nicht, was $a_{0} = 2$ bzw. $a_{0} = 0$ mit den Aufgaben zutun hat, wenn das ganze für $n \geq 1 b z w . n \geq 2$ gelten soll. Zudem weiß ich nicht, wie ich auf die Folgerung kommen soll. Ich glaube, ich stelle mich völlig dämlich an.

MiniMilk aktiv_icon

07:31 Uhr, 31.10.2008

Guckt euch bitte, bitte nochmal die Frage an. Brauche ganz, ganz dringend nen Denkanstoß oder möglichst sogar ne Lösung, die ich dann in Ruhe nachvollziehen kann. Die Aufgabe stammt aus dem ersten Semester Lineare Algebra, also sollte das doch machbar sein oder?

matheleo aktiv_icon

08:00 Uhr, 31.10.2008

Hallo MiniMilk

rekursiv heißt, dass $a_{n}$ sich aus den vorherigen Folgengliedern berechnet. In deinem Fall ist $a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}}$

Du könntest jetzt also mit a1 anfangen, daraus a2, dann a3 usw. berechnen. Dei explizite Darstellung hingegen gibt dir einen Term, der den Wert des Folgengliedes an in abhängigkeit von n angibt. Damit könntest du sofort das Folgenglied z.B. $a_{100}$ bestimmen, was mit der rekursiven Definition ewig dauern würde. So viel dazu.

Um deine explizite Formel zu beweisen genügt Induktion über n:

Induktionsanfang:

$a_{0} = \frac{0 + 2}{0 + 1} = 2$

Das ist dir gegeben und damit richtig. Induktionsannahme:

$\exists_{n \in N} : a_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}$

Jetzt kommt der Induktionsschluss. Zu zeigen ist:

$a_{n} = \frac{n + 2}{n + 1} \Rightarrow a_{n + 1} = \frac{n + 3}{n + 2}$

Fange dafür einfach mit der Definition an und forme dann um. Verwende dabei die Induktionsannahme für $a_{n}$ .

$a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} = 2 - \frac{1}{\frac{n + 2}{n + 1}} = 2 - \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{2 n + 4 - n - 1}{n + 2} = \frac{n + 3}{n + 2}$

Da die explizite Darstellung für n=0 gilt, gilt sie also auch für 1, dann für 2, für 3 usw.

matheleo

pwmeyer aktiv_icon

08:05 Uhr, 31.10.2008

Hallo,

Rekursive definierte Folge bedeutet: Du hast einen Startwert, hier

a_{0} = 2

. Und eine Rechenvorschrift, die festlegt, wie Du aus einem Folgenglied das nächste berechnen kannst. Also

a_{1}

aus

a_{0} :

a_{1} = 2 - \frac{1}{a_{0}} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

und

a_{2}

aus

a_{1} :

a_{2} = 2 - \frac{1}{a_{1}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

D . h

. Du führst immer wieder dieselben Rechenschritte aus und erhältst nach und nach Deine Folgenglieder - das bedeutet rekursiv.

Wenn Du jetzt prüfen sollst, ob die explizite Darstellung stimmt, brauchst Du nur checken, ob der Startwert richtig angegeben ist:

a_{0} = \frac{0 + 2}{0 + 1} = 2

ok

Dann musst Du prüfen, ob die explizite Folge die Rekursionsvorschrift erfüllt:

pwmeyer aktiv_icon

08:07 Uhr, 31.10.2008

Hallo,

mein Browser wollte nicht mehr?

Den Rest kannst Du ja schon bei der vorigen Antwort sehen.

Gruß pwm

matheleo aktiv_icon

08:31 Uhr, 31.10.2008

Das ist wieder Induktion.

Induktionsanfang:

$a_{0} = \frac{2}{3} (1 - {(- 1)}^{0} \frac{1}{2^{0}}) = 0$

$a_{1} = \frac{2}{3} (1 - {(- 1)}^{1} \frac{1}{2^{1}}) = 1$

Induktionsannahme:

$\exists_{n \in N} :$ für n und n-1 gilt dei explizite Formel.

Induktionsschluss:

$a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + a_{n - 1}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} ((1 - {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}}) + (1 - {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}}))$

$= \frac{1}{3} (2 - {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}} - {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}}) = \frac{1}{3} (2 - ({(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}} + {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})) = \frac{1}{3} (2 - ({(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n - 1}}) \cdot (\frac{1}{2} - 1))$

$= \frac{2}{3} (1 - (- \frac{1}{2}) {(- 1)}^{n} \frac{1}{2^{n}}) = \frac{2}{3} (1 - {(- 1)}^{n + 1} \frac{1}{2^{n + 1}})$

Ich hoffe, das hat dir geholfen

matheleo

MiniMilk aktiv_icon

14:20 Uhr, 31.10.2008

Super! Ihr habt mich gerettet. Jetzt macht das auch alles endlich Sinn. War schon total am Verzweifeln, aber jetzt habe ich es sogar mit einer weiteren Aufgabe selbst geschafft. Danke!

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