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Exponentialmatrix berechnen

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Hinnerk8 aktiv_icon

21:18 Uhr, 15.02.2016

Hey Leute,
ich bräuchte mal eure Hilfe.
Ich soll Matrixexponentialfunktionen berechnen, werde aber aus dem Internet nicht so wirklich schlau, wie das funktionieren soll. Ich hätte zwei Beispielaufgaben:
1.

e^{A \cdot t} : A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

e^{A \cdot t} : A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})

Ich bin vor allem an dem Lösungsweg interessiert. Die Lösungen spielen eigentlich nur im Hintergrund eine Rolle. Also es wäre super nett, wenn mir jemand ein bischen erklären könnte, wie ich vorgehen muss.
LG,
Hinnerk

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:55 Uhr, 16.02.2016

Normalerweise geht das über die Jordannormalform. Also die Schritte sind:
1. Eigenwerte und Eigenvektoren finden (inklusive Bestimmung der algebraischen und geometrischen Vielfachheit), 2. Jordannormalform aufstellen, 3. Basiswechselmatrix bestimmen, 4. die Matrixexponente berechen.
Das ist also ein richtig komplizierter Prozess.
In Kurzform ist er hier beschrieben: de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential
In vollständiger Form und mit Beispielen wird es mehrere Seiten lang sein.

Hinnerk8 aktiv_icon

09:27 Uhr, 16.02.2016

Hallo DrBoogie,
vielen Dank für deine Antwort. Ich hab die Seite auf wikipedia auch schon gesehen, komme da aber nicht weiter.
Also für das zweite Beispiel. Ich habe als Eigenwerte

Λ_{1,2} = 1

.
Damit sind die Eigenvektoren:

v_{1} = μ_{1} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

und

v_{2} = μ_{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

Die geometrische Vielfachheit müsste damit

= 2

sein, genauso wie die algebraische Vielfachheit.
Wie stelle ich jetzt die Jordannormalform auch und mache weiter?
Könntest du mir da nochmal helfen? Vielen lieben Dank.
Hinnerk

DrBoogie aktiv_icon

09:36 Uhr, 16.02.2016

v_{2}

ist kein Eigenvektor. Geometrische Vielfachheit von

λ = 1

ist

1

.
Die Jordan-Normalform ist

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})

.

Aber in diesem Fall kannst Du auch ohne Jordan-Normalform auskommen, denn

{(\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})}^{n} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ n & 1 \end{array})

, also kannst Du direkt die Reihendarstellung nutzen. (Das geht, weil die Matrix schon in der "transponierten Jordan-Normalform" ist).

Hinnerk8 aktiv_icon

09:54 Uhr, 16.02.2016

Okay... Also

v_{2}

ist kein Eigenvektor weil ich da eine Hauptvektorkette gemacht habe oder?
Und wie muss ich jetzt weiter machen? So ganz versteh ich das noch nicht... Bei der Jordannormalform schreibe ich theoretisch immer in die "schräge" Zeile oberhalb der Eigenwerte 1 hin oder? Wie nutze ich jetzt die Reihendarstellumg?
Entschuldige die vielen Fragen... Und vielen Dank das du dir die Zeit nimmst...

DrBoogie aktiv_icon

10:40 Uhr, 16.02.2016

"Okay... Also v2 ist kein Eigenvektor weil ich da eine Hauptvektorkette gemacht habe oder?"

Ich weiß nicht, was Du gemacht hast.

"Und wie muss ich jetzt weiter machen?"

Ich habe es schon gesagt. Wenn Du über die Jordannormalform gehen willst (was in diesem Fall nicht nötig ist), dann suchst Du jetzt die Basiswechselmatrix. Wie - steht überall geschrieben.

"So ganz versteh ich das noch nicht."

Das liegt einfach daran, dass Du noch nicht genug Zeit in dieses Thema investiert hast. Wie ich gesagt habe, das ist eine komplexe Geschichte, da muss man viel wissen.

"Bei der Jordannormalform schreibe ich theoretisch immer in die "schräge" Zeile oberhalb der Eigenwerte 1 hin oder?"

Ja.

"Wie nutze ich jetzt die Reihendarstellumg?"

Im allgemeinen Fall sind die Formeln nicht sehr schön, aber im Fall

2 \times 2

geht es noch. Und zwar gilt dann

e^{J} = (\begin{array}{rcl} e^{λ} & e^{λ} \\ 0 & e^{λ} \end{array})

, wenn

J = (\begin{array}{rcl} λ & 1 \\ 0 & λ \end{array})

. Der Beweis geht über die Reihendarstellung. Wenn

I_{2} = (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

und

N = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})

,
dann gilt

J = λ I_{2} + N

und

N^{2} = 0

. Daher

e^{J} = e^{λ I_{2}} e^{N} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(λ I_{2})^{k}}{k!} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{N^{k}}{k!} =

= (\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(λ)^{k}}{k!}) I_{2} (I_{2} + N) = e^{λ} (I_{2} + N) = e^{λ} (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})

.

"Entschuldige die vielen Fragen."

Kein Problem. Aber erwarte bitte nicht, dass Du eine ausführliche Erklärung für alle Deine Fragen bekommst, dazu hat keiner hier Zeit und Lust. Dieses Forum ist kein Ersatz für eine Vorlesung.

Respon

11:06 Uhr, 16.02.2016

Interessante Sache, ich habe das einmal probiert:

e^{(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})}^{k}}{k!}

{(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})}^{k} = (\begin{matrix} cos (\frac{π}{2} \cdot k) & sin (\frac{π}{2} \cdot k) \\ - sin (\frac{π}{2} \cdot k) & cos (\frac{π}{2} \cdot k) \end{matrix})

\Rightarrow

e^{(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\begin{matrix} cos (\frac{π}{2} \cdot k) & sin (\frac{π}{2} \cdot k) \\ - sin (\frac{π}{2} \cdot k) & cos (\frac{π}{2} \cdot k) \end{matrix})}{k!} = (\begin{matrix} cos (1) & sin (1) \\ - sin (1) & cos (1) \end{matrix})

"Wolfram" rechnet zwar anders, hat aber das gleiche Ergebnis.

DrBoogie aktiv_icon

11:22 Uhr, 16.02.2016

Ja, das ist richtig, hier ist der Weg über Jordannormalform auch unnötig lang.
Die Matrix

A = (\begin{array}{rcl} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array})

ist bekanntlich eine Darstellung der Zahl

- i

, daher gilt

A^{2} = - I_{2}

und

A^{4} = I_{2}

,
deshalb ist die Reihe

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}

direkt berechenbar:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!} I_{2} + A \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} = \cos (1) I_{2} + \sin (1) A

,
man braucht nicht mal mit Matrizen rechnen!

Respon

11:29 Uhr, 16.02.2016

Wenn also die Matrix eine besondere Form hat, dann läßt sich diese kürzere Methode anwenden ?

Im zweiten Fall kome ich mit ähnlichen Überlegungen auf

(\begin{matrix} e & 0 \\ e & e \end{matrix}),

bin mir aber nicht sicher.

Hinnerk8 aktiv_icon

11:40 Uhr, 16.02.2016

Ok, also auch auf die Gefahr hin, dass ich mich jetzt zum Deppen mach, aber ich versteh nicht so ganz wie man auf die

sin, cos

Darstellung kommt. Also die restlichen Rechenschritte an sich schon und mir ist glaube ich auch klar, warum man das mit

sin, cos

darstellen kann. Wenn ich die Matrix hoch 4 nehme, komme ich wieder bei der gleichen Matrix raus... Nur wie ordne ich jetzt sin und

cos

zu?

DrBoogie aktiv_icon

12:04 Uhr, 16.02.2016

Immer wenn man weiß, dass

A^{n} = 0

oder

A^{n} = I

für ein bestimmtes

n

ist, dann geht auch die kürzere Methode (wobei übersichtlich wird es wohl nun, wenn

n

klein ist, wie in diesem Fall - einmal

2

und einmal

4

). Im Endeffekt zielt der Weg über die Jordannormalform genau darauf.

DrBoogie aktiv_icon

13:12 Uhr, 16.02.2016

Wegen

A^{2} = - I

folgt

A^{2 k} = (A^{2})^{k} = (- I)^{k} = (- 1)^{k} I

und

A^{2 k + 1} = A \cdot A^{2 k} = (- 1)^{k} A

, daher

e^{A} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{2 k}}{(2 k)!} + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{A^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!} \cdot I + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} \cdot A = \cos (1) I + \sin (1) A

,
weil dies die Reihen für Sinus und Kosinus sind.

Hinnerk8 aktiv_icon

14:46 Uhr, 16.02.2016

Vielen lieben Dank für eure Antworten! Danke :-)

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