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Exponentielle Regression

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Sonstiges

Tags: Abnahmefunktion, e-Funktion

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15:47 Uhr, 09.09.2014

Hey,
ich habe ein kleines Problem bei dem ihr mir hoffentlich helfen könnt. Wir sollen Anhand einer Tabelle eine Funktionsgleichung mit exponentiellem Zusammenhang (Abnahme) erstellen. Leider kommen bei mir immer wieder verwirrende Zahlen heraus und hoffe ihr könnt nun etwas Licht ins Dunkle bringen.

Die Tabelle lautet:

t | 0 | 2 | 4 | 7 |

- - - - - - - - - - - - - - - - -

y | 6 | 1 | 5 | 3 |

Mein einziger Ansatz ist die Funktion

f (t) = k \cdot e^{a \cdot t + b}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

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21:08 Uhr, 09.09.2014

Der ansazt dazu ist - ehrlich gesagt - sehr kompliziert aber ich werds mal versuchen. Grundsätzlich soll bei einer regression der Abstand vom n-ten Messpunkt zur Funktion an sich minimiert werden. Dann hast du die "perfekte" regression

beispielsweise die punkte

yn|xn:

0 | 0, 1 | 1, 2 | 2 ...

.
sieht man blind die PERFEKTE regressionsgrade dazu ist

f (x) = x

nun nimmt man ABSTAND yn-f(x)

= 0

Also:

0 - f (0) = 0 - 0 = 0

1 - f (1) = 1 - 1 = 0

. .

.

Der Abstand von JEDEM punkt zu der regressionsgrade ist 0. DAS ist was du erreichen willst im Idealen fall.

bei der E-Funktion ist das

n

bissle... naja komplizierter. es gibt aber einen trick! wenn du dir das mal anguckst:

f(x)=e^(ax) ich habe also einen wert

x

dem ich ein ergebnis

f (x)

zuordne

der TRICK ist nun - ich logaritmisiere die y-achse. Das klingt

ν

seltsam ist aber sehr einfach:

ln (f (x)) =

ln(e^ax+b)) = ax+b

das ergebnis ist also - ich bekomme NURNOCH eine grade!

auf dein beispiel:
ln(yn)

= ln (6), ln (1), ln (5), ln (3)

und jetzt brauchst du nurnoch eine grade ax+b finden die diese punkte möglichst "ideal" verbindet.

die neue Tabelle ist dann:

x y

0 1,7918

2 0<<<<<<<<<<<<<<<<<<<Ausreißer

4 1,6094

7 1,0986

der 2. wert ist schonmal ein ausreißer... das kann ich vorweg nehmen - also schmeißen wir den schonmal raus

ich brauche also eine Grade die möglichst nah an diesen werten liegt

min (1,79418 - f (0))

min (1,6094 - f (4))

min (1,0986 - f (7))

jetzt braucht man nurnoch diese funktion "f(x)" zu finden - wir wissen ja dasses ne grade sein soll der form

f (x) =

ax+b

das kann man

ν

lösen wie man will - ich hab mal meinen taschenrechner draufgeschlagen und hab für

a = - 0,09613

und

b = 1,8524

raus

da wir ja vorher die y-Achse logaritmisiert haben müssen wir das

ν

noch andersrum machen um wieder auf die originalwerte zu kommen:

ln(yn)=-0,09613x+1,8524
yn=e^(-0,09613x+1,8524)

das ist also die regressionsgrade ;-)

hoffe es war so einigermaßen nachvollziehbar - wie ich schon gesagt habe - ist nicht SO einfach das zu erklären...

anonymous

21:42 Uhr, 09.09.2014

Hallo
Ich kann dir vielleicht nicht direkt helfen.
Aber gestatte einige Anmerkungen zu deinem Ansatz.

1)

f_{1} (t) = k \cdot e^{a \cdot t + b} = k \cdot e^{a \cdot t} \cdot e^{b} = [k \cdot e^{b}] \cdot e^{a \cdot t} = [q] \cdot e^{a \cdot t}

Du siehst: dein Ansatz ist ungeschickt, weil die Koeffizienten

k

und

b

prinzipiell das Gleiche beschreiben, und somit mehrdeutige Ergebnisse raus kommen MÜSSEN!
Prinzipiell besser ist daher, gleich nur einen Koeffizienten hierfür zu nutzen, wie ich es in

f_{1} (t) = q \cdot e^{a \cdot t}

vorgeschlagen möchte.

2)

Hier eine Auswahl mindestens so geeigneter Ansätze:

f_{2} (t) = q \cdot e^{a \cdot t} + C

f_{3} (t) = m \cdot t + p \cdot e^{a \cdot t} + C

3)

Eine Anmerkung zu deiner Wertetabelle:
Die Werte springen dermaßen zick-zackig hin und her. Mathematisch kann da zwar was rauskommen. Darin aber eine exponentielle Regression zu suchen bedarf schon einer sehr eigenwilligen Interpretation.

Starni aktiv_icon

13:22 Uhr, 10.09.2014

Okay, erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Soweit habe ich die Lösung auch verstanden, nur komme ich ab hier : "ich brauche also eine Grade die möglichst nah an diesen werten liegt

min(1,79418−f(0))
min(1,6094−f(4))
min(1,0986−f(7))

jetzt braucht man nurnoch diese funktion "f(x)" zu finden - wir wissen ja dasses ne grade sein soll der form

f (x) =

ax+b"
nicht weiter bzw. nicht auf deine Ergebnisse. Welche Zahlenwerte hast du da genau in die Gleichung eingesetzt etc.? Hab da irgendwo ne Formel für die Bildung von Regressionsgeraden gefunden, ist aber relativ lang und wollte wissen, ob's da vll eine einfachere Lösung gibt, die ich nicht kenne.

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22:23 Uhr, 10.09.2014

ich hab zufälligerweise grade meine aufzeichnungen in mathe archivieren wollen und hab da meine vorlesungsaufzeichnungen gefunden - wenn du da interesse dran hast kann ich dir die bei gelegenheit mal zukommen lassen. Aber viel mehr erklärung als ich geschrieben habe steht da

ν

auch nich...

das mit dem abstand

hier ist ansatz aus meinem skript - der Abstand zwischen dem Messpunkt und der Funktion sei definiert als

S

s = \sum

(y-f(x)²

= \sum

(yn-(ax+b))²

das quadrat steht hier nur drin damit die abstände immer positiv sind - das ist also nicht so ganz wichtig.

dann kannst du das einmal nach A und einmal nach

B

ableiten:

dS/da=

\sum (

2*(yn-axn-b)(-xn) )
dS/db=

\sum (

2*(yn-axn-b)(-1) )
das

n

ist jeweils ne laufgröße für die summe - also

y 1

bis yn

Bedingung für minimalen abstand ist dann dass dS/da null ist und dS/db auch

n

bisschen vereinfachen führt dann zu:

dS/da=

\sum (

xn)²*a

+ \sum (

xn)*b

= \sum

(xn*yn)
dS/db=

\sum (

xn)*a

+ n \cdot b = \sum

(yn)

und

ν

kannste die einzelnen summen ausrechnen und erhälst

n

gleichungssystem mit menschenzahlen drin und das kannste einfach auflösen und bekommst a und

b

raus

man kann das auch über matritzen machen und lösbarkeiten ausrechnen und bla bla bla... aber das erspar ich dir

ν

mal

wie gesagt das is der ansatz aus meinem skript hier - kanns dir gern schicken wenn du papier mehr magst :-D) aber ich denke mehr als das was ich

ν

aufgeschrieben habe steht da

ν

auch nicht ;-)

grüße

Starni aktiv_icon

22:09 Uhr, 11.09.2014

Vielen Dank, hab's soweit verstanden und denke das reicht dann auch - wird im weiteren Studienverlauf wohl eher nicht mehr vorkommen ;-)

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