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Extremstellen,querschnittsfläche

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Extremstellen, halbkreis, Querschnitsfläche, Rechteck

Diwa-Q

19:26 Uhr, 26.09.2012

Hallo ich weiß nicht was ich da rechnen soll bzw. wie

also die Aufgabe lautet :

Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.Wie müssen die Maße gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von

45 m^{2}

der Umfang am kleinsten wird?

Danke

Wäre nett wenn ihr mir es auch erklären könntet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm

McMannus aktiv_icon

19:59 Uhr, 26.09.2012

Also du hast zunächst mal eine Bedingung, die immer erfüllt sein muss: Flächeninhalt des Querschnitts

= 45 m^{2},

als Formel geschrieben:

A (r, h) = \frac{π}{2} \cdot r^{2} + 2 \cdot r \cdot h = 45

r :

Radius Halbkreis

h :

Höhe des Rechtecks

Der Umfang des Querschnitts ist:

U (r, h) = π \cdot r + 2 \cdot h + 2 \cdot r = (2 + π) \cdot r + 2 \cdot h

Da der Flächeninhalt immer gleich bleiben soll, lösen wir die Gleichung

A (r, h)

nach

r

auf und setzen dieses

r \in U (r, h)

ein. Damit haben wir die Bedingung des Flächeninhalts in den Umfang eingefügt.

h = \frac{45 - \frac{π}{2} \cdot r^{2}}{2 \cdot r}

U (r) = (2 + π) \cdot r + 2 \cdot \frac{45 - \frac{π}{2} \cdot r^{2}}{2 \cdot r} = (2 + π) \cdot r + \frac{45 - \frac{π}{2} \cdot r^{2}}{r} = (2 + \frac{π}{2}) r + \frac{45}{r}

Die Frage ist nun, für welches

r

der Umfang minimal wird. Das kann man grafisch machen indem man die Gleichung plottet und nach dem Minimum schaut oder mit Mitteln der Analysis, die ihr in der 9ten Klasse aber wahrscheinlich noch nicht gemacht habt.
Der Graph sieht dann so aus: www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2Bpi%29*r%2B%2845-pi%2F2*r^2%29%2Fr%2C+r+from+0+to+10 und das Minimum liegt exakt bei

r_{min} = 3 \cdot \sqrt{\frac{10}{4 + π}} \approx 3,55 [m]

Die zugehörige Höhe lautet

h_{min} \approx 3,55 [m]

Diwa-Q

20:03 Uhr, 26.09.2012

Danke schön

McMannus aktiv_icon

20:20 Uhr, 26.09.2012

Capricorn-01 hat mich darauf hingewiesen, dass in meiner Rechnung noch Fehler waren. Die habe ich nun ausgebessert!

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