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Extremwertaufgabe
Schüler Hauptschule, 5. Klassenstufe
Tags: Gleichschenkliges Dreieck, Quadrat
 
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Einem Quadrat mit der Seitenlänge a ist ein gleichschenkeliges Dreieck so einzuschreiben, dass seine Spitze in einer Ecke des Quadrats liegt. Wie sind die Seitenlängen des Dreiecks zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird? Gut, dazu hätte ich mehrere Fragen. Es gibt zwei Flächenformeln für das glsch. Dreieck. (c*hc)/2 usw. A=c/2*Wurzel aus (a²-c²/4) so. welche soll ich nehmen (=Hauptbedingung)? Schwieriger wirds beim Aufstellen der Nebenbedingungen... ich hab es mit dem Phytagoras versucht, aber es funktioniert nicht. Kann mir jemand Lösungsansätze geben? Vielen Dank schon mal im Voraus. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Tipp: Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks nicht "direkt", sondern ziehe bestimmte Flächeninhalte vom Flächeninhalt des Quadrats ab, so dass genau der Flächeninhalt vom besagten, gleichschenkligen Dreieck übrig bleibt. Gruß Shipwater |
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Die Nebenbedingung dient immer dazu eine der beiden Unbekannten aus der Hauptbedingung zu eliminieren. Nachdem die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks in einer der Ecken des Quadrats liegen soll, verläuft die Höhe wohl entlang der Diagonalen des Quadrats. Mach da mal eine Skizze mit 2 oder 3 alternativen für ein einbeschriebenes Dreieck. |
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So sieht die Skizze im Buch aus: |
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SKIZZE: |
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Nur zur Anschauung: Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt: |
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Hallo discomaedchen, in der Zeichnung von Rabanus kannst du BC miteinander verbinden. Damit hast du dann auch schon die Diagonale des Quadrats. Auf ihr liegt die Höhe des gesuchten Dreiecks. Mit dem Pythagoras kannst du nun die Basis des Dreiecks berechnen. Weiter kannst du die kleine Höhe des kleinen Eckdreiecks ausrechnen. Diese von der Diagonalen abgezogen, ergibt die Höhe des Dreiecks. Jetzt kannst du die Hauptbedingung für die Dreiecksfläche aufstellen. Alles Gute Atlantik |
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doppelt editiert. |
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Atlantik:
"... in der Zeichnung von Rabanus kannst du BC miteinander verbinden. Damit hast du dann auch schon die Diagonale des Quadrats. Auf ihr liegt die Höhe des gesuchten Dreiecks." Nö, die Höhe des Dreiecks ist nicht nötig und auch den Herrn Pythagoras braucht man nicht zu bemühen . Tip von Shipwater Neuer Versuch zur Veranschaulichung: Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt: |
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c(Basis des Dreiecks)=2wurzel aus und die höhe auf c=2wurzel aus a und dann alles in die formel der fläche einsetzen? dann habe ich ja noch immer zwei variablen |
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Wenn Du dir die Zeichnung von Rabanus ansiehst, dann erkennst Du ein braunes Dreieck und zwei rosafarbene Dreiecke. Stell mal die Flächenformel für diese Flächen auf und ziehe sie dann von der des Quadrats ab. |
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Flächeninhalt des "braunen" Flächeninhalt der zwei rosafarbenen Dreiecke: des glsch. Dreiecks.. aber es ist eine extremwertaufgabe.. |
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Kleine Korrektur: und Wenn Du jetzt in die (korrigierte) Formel deiner letzten Zeile die einzelnen Ausdrücke für und einsetzt, ausmultiplizierst und vereinfachst, dann hast Du eine Zielfunktion, abhängig von und . Bilde davon die erste Ableitung, setze sie Null und schau was dabei herauskommt ;-) |
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ja, aber wie kann man gleichzeitig nach 2 variablen ableiten? |
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ODER kann ich eine der variablen als konstante "definieren"? |
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Du hast ja nur eine Variable. Die Seitenlänge des Quadrats ist ja streng genommen keine Unbekannte. Aber auf jeden Fall ist a nicht variabel, sondern nur . Wie verändert sich also wenn Du veränderst? Bilde bzw. |
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danke. werd's mir dann später dann in aller ruhe durchrechnen. jetzt gehe ich mal essen. vielen dank nochmal! alleine hätte ich nie und nimmer geschafft. |
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