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Extremwertaufgabe

Schüler Kooperative Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe

-Maddin- aktiv_icon

11:57 Uhr, 03.06.2009

Hallo, brauche dringend eure Hilfe bei einer Extremwertaufgabe! Hab schon versucht sie selber zu lösen, aber bin mir nicht sicher, ob ich´s richtig gemacht hab.

Also:

Eine Gärtnerei möchte in einem Folienzelt mit der Zucht von Tulpen beginnen. Das Zelt ist

54 m

lang,

10 m

breit und hat in der Mitte eine Höhe von

3 m .

Die Begrenzungskurve des Zeltes ist eine Parabel.
(Dazu folgendes Bild, bloß dass das Dreieck eine quadratische Funktion sein soll und eben die Werte nicht stimmen: www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/6/14675_dachboden.JPG )

a)

Bestimmen Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung für die Begrenzungskurve.

Das war noch einfach, Lösung:

- 0,12 x^{2} + 3

b)

Berechnen Sie den Rauminhalt des Zeltes.

Ich habs über´s betimmte Integral probiert und bin dann zu der Lösung

1080 m^{3}

gekommen, hab aber keine Ahnung, ob´s richtig ist. (?)

c)

In die Vorder- und Rückwand des Zeltes soll jeweils eine rechteckige Toröffnung
eingebaut werden. Berechnen Sie Höhe und Breite der Öffnung so, dass diese Fläche
maximal wird.

Mit der Aufgabe hatte ich am meisten zu kämpfen, bin dann aber am Ende zu der
Lösung: Höhe der Tür=

2,08333 m

und Breite=

5,8333 m

gekommen.

Kann mir jmd. sagen, ob meine Lösungen richtig sind und vor allem bei Aufgabe

c)

noch mal den Lösungsansatz erklären?? Wäre echt super!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

12:25 Uhr, 03.06.2009

a)

okay

b)

auch okay, Fläche

\cdot

Länge = Volumen

= (\int_{- 5}^{5} - 0,12 \cdot x^{2} + 3 d x) \cdot 54 = 1080

c)

mit der Höhe

h

ist auch schon die Breite

b

des Tores vorgegeben, da die oberen Eckpukte ja an die Parabel stoßen.
Die Höhe

h

entspricht dem Funktionswert

y

und die Breite

b

des Tores das doppelte des X-Wertes.

h = y

und

b = 2 \cdot x

und somit

x = \frac{b}{2}

Dies eingesetzt in unsere Funktion ergibt die Nebenbedingung:

y = - \frac{3}{25} \cdot x^{2} + 3

also:

h = - \frac{3}{25} \cdot \frac{b^{2}}{4} + 3

also:

h = 3 - \frac{3 \cdot b^{2}}{100}

;-)

Jetzt stellen wir die Fläche in Abhängigkeit von

b

dar:

A (b) = h \cdot b

jetzt einsetzen der Nebenbedingung:

A (b) = b \cdot (3 - \frac{3 \cdot b^{2}}{100}) = 3 \cdot b - \frac{3 \cdot b^{3}}{100}

...jetzt Nullsetzen der Ableitung:

0 = 3 - \frac{9 \cdot b^{2}}{100}

\frac{9 \cdot b^{2}}{100} = 3

(9 \cdot b^{2}) = 300

b = \pm \sqrt{\frac{300}{9}}

b = \pm 5,7735 ...

und damit über die NB:

h = 3 - \frac{3 \cdot b^{2}}{100}

h = 3 - \frac{3 \cdot (\frac{300}{9})}{100} = 2

...also hast du da wohl irgendwo Rundungsfehler drin...man sollte wenn's geht immer mit dem Bruch

(\frac{3}{25})

statt mit Dezimalzahlen rechnen...

;-)

-Maddin- aktiv_icon

13:07 Uhr, 03.06.2009

Vielen Dank Edddi, hast mir sehr geholfen, hab´s noch mal nachgerechnet und bin jetzt auf das gleiche gekommen, muss also tatsächlich en Rundungsfehler gewesen sein. Danke nochmal ;-)

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