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Extremwertaufgabe, Kanal mit Querschnittsfläche A

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Extremwertaufgabe, Gewöhnliche Differentialgleichungen, halbkreis, kanal, Querschnittsfläche, Rechteckt, Umfang minimal

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

08:26 Uhr, 23.01.2012

Grüß euch!

Hab die Aufgabe schon probiert und im Anhang hinzugefügt.

Ein Kanam mit gegebener Querschnittsfläche A soll die Form eines Rechtsecks mit aufgesetztem Halbkreis haben. Aus Reibungsgründen und wegen des Materialaufwandes ist der Kanal so zu dimensionieren, dass der Umfang minimal wird.

Lösung: x" = y" (" soll einen Stern darstellen - wird aber in ein Mal ungewandelt.)

Dass

x = 0

ist würde logischerweise zu nem minimalen Umfang führen und auch

y

wäre somit

= 0

doch wo ist die Querschnittsfläche A abgeblieben. Richtig scheint mir meine Lösung nicht zu sein..

Würde mich wieder sehr über eure Hilfe freuen.

Liebe Grüße

Nicki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

08:31 Uhr, 23.01.2012

Hallo,

Dein Bild war etwas blass. Soweit ich sehen konnte:

- Der Umfang ist

x + 2 \cdot y + π \cdot x,

also nicht

2 \cdot x

(Der Kanal ist geschlossen?)
- Du hast

U (x)

berechnet und dann mit

x

multipliziert? Du musst aber

U (x)

selbst minimieren und nich

x \cdot U (x)

Gruß pwm

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

08:41 Uhr, 23.01.2012

Danke für deine Antwort.

Die Formel für den Umfang dürfte allerdings stimmen.

2 x

beschreibt die untere Seite (die Hälfte dieser Seite ist

x)

2 y

beschreibt die beiden Längen zusammen

mit

2 x + 2 y

wäre also das Rechteck fertig (die obere Seite darf ja nicht mitgezählt werden, da anstatt dieser der Halbkreis dran kommt)

wäre es ein Rechteck würde nun stehen

2 x + 2 y + 2 x,

da aber mit einem Halbkreis abgeschlossen wird:

2 x + 2 y + \frac{2 Π x}{2} = 2 x + 2 y + Π x

Habe das Rechteck und den Halbkreis einzeln gezeichnet. Sorry falls der Strich verwirrt.

Liebe Grüße

Nicki

Gerd30.1 aktiv_icon

09:02 Uhr, 23.01.2012

Deine Rechnung ist richtig bis:

U (x) = 2 x + 2 \cdot (\frac{A - \frac{x^{2} \cdot π}{2}}{2 x}) + π x = 2 x + \frac{A - \frac{x^{2} \cdot π}{2}}{x} + π x = 2 x + \frac{A}{x} - \frac{x \cdot π}{2} + π x =

U (x) = (2 - \frac{π}{2}) x + \frac{A}{x} \Rightarrow \Rightarrow

U' (x) = 2 - \frac{π}{2} - \frac{A}{x^{2}} = 0 \Rightarrow 2 - \frac{π}{2} = \frac{A}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{A}{2 - \frac{π}{2}}

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

09:24 Uhr, 23.01.2012

Vielen Dank! Weiß zwar noch nicht wo in meiner Berechnung der Fehler versteckt sein sollte - aber dein Ergebnis sieht einfach schöner aus :-D)

Hab anstatt

- \frac{Π}{2} + \frac{Π}{2}

geschrieben, da bist du wohl nur zu schnell drüber gefolgen - oder ich hab jetzt nen gewaltigen Denkfehler :-)

Das Einsetzen in

y

werd ich wohl wenn ich nachher in der Schule bin Mathematica überlassen.

Nochmals Danke für deine Hilfe.

Liebe Grüße

Nicki

966246

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