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Extremwertaufgabe Kegel-Zylinder

Sonstiges

Tags: Extremwertaufgaben, Kegel, Zylinder

smoka

12:24 Uhr, 02.05.2008

In die kegelförmige Spitze eines kreisrunden Turms (die Spitze ist

8 m

hoch) mit dem Durchmesser

10 m

soll ein zylindrischer Wasserbehälter eingebaut werden.
Wie sind die Maße des Behälters zu wählen, damit er möglichst viel Wasser aufnemhen kann?
Kann mir da jemand helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

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12:41 Uhr, 02.05.2008

Die Höhe des Zylinders sei

h, 0 \leq h \leq 8 m

.
Wie groß ist der Radius zu gegebenem h? Hinweis: Für

h = 0 m

ergibt sich

5 m

und für

h = 8 m

ergibt sich

0 m

.
Welches Volumen hat der Zylinder dann (als Funktion von

h

)?
Maximiere

V (h),

indem du

V' (h) = 0

untersuchst.

(Antwort überarbeitet, weil ich fälschlich 10m=Durchmesser statt 5m=Radius benutzt habe)

anonymous

12:47 Uhr, 02.05.2008

Wenn du einen Schnitt durch den Kegel machst hast du ein Dreieck und ein Rechteck.

A = l \cdot b

Zielfunktion

l = 10 - \frac{2 \cdot b}{\frac{8}{5}}

Nebenbedingung

A = b \cdot (10 - \frac{2 \cdot b}{1.6}) = \frac{- 2 \cdot b^{2}}{1.6} + 10 \cdot b

= \frac{- b}{2 \cdot a} = \frac{- 10}{\frac{2 \cdot (- 2)}{1.6}} = 4

Breite Rechteck

= 4 m =

Höhe Zylinder

l = 10 - \frac{2 \cdot 4}{\frac{8}{5}} = 5

Länge Rechteck

= 5 m =

Durchmesser Zylinder

V = \frac{5^{2} \cdot Φ}{4} \cdot 4 m^{3} = 78.5 m^{3}

smoka

14:16 Uhr, 02.05.2008

Danke erstmal an euch. Ich kann allerdings nicht nachvollziehen wie ihr auf die Zahlen kommt.
Ich habs mal wie folgt versucht:
Ich habe eine Zeichnung angefertigt, so dass der Mittelpunkt des Turms auf der y-Achse liegt. "y" ist die Höhe des Zylinders "r" ist der Radius, also der x-Wert.

V = π r^{2} \cdot y

y = - \frac{8}{5} r + 8

"y" in "V" eingesetzt:

V = - \frac{8 π}{5} r^{3} + 8 r^{2}

V' = - \frac{24 π}{5} r^{2} + 16 r

Dann krieg ich für

r = 1,06

raus. Was hab ich falsch gemacht?

smoka

15:36 Uhr, 02.05.2008

Ich hab das ganze nochmal überprüft. Ich hab mich vorhin vertan. So stimmt meine Rechnung:

V = π r^{2} \cdot y

y = - \frac{8}{5} r + 8

"y" in "V" eingesetzt:

V = - \frac{8 π}{5} r^{3} + 8 π r^{2}

V' = - \frac{24 π}{5} r^{2} + 16 π r

Dann kommt für

r = \frac{10}{3}

raus und für

y = \frac{8}{3}

Vmax=93,08

m^{3}

Aber das kommt ja laut speedy trotzdem nicht hin. Weiß jemand was ich falsch mache?

smoka

17:56 Uhr, 02.05.2008

Weiß niemand Rat? Ich nerve ungern, aber die Aufgabe ist echt wichtig.

anonymous

18:15 Uhr, 02.05.2008

Warum es beideinem Lösungsweg nicht klappt, weiss ich leider auch nicht.

Noch eine erläuterung zu meiner Lösung bezüglich der Nebenbedingung

Die Grundseite des Grossen Dreiecks ist

10 m

links und rechts vom Rechteck hast du noch 2 kleine Dreicke
Deren Grundseite kannst du berechnen.

tan (\frac{8}{5}) =

BreiteRechteck/GrundseitekleinesDreieck

GrundseitekleineDreieck = BreiteRechteck/tan(8/5) und das Zweimal

Also ist die Länge des Rechtecks

= 10 - \frac{2 \cdot b}{\frac{8}{5}}

smoka

19:57 Uhr, 02.05.2008

Danke.
Hmm ich bin verwirrt. Also ich möchte sicher nicht Deine (bzw. Eure) mathematischen Kenntnisse anzweifeln, aber ist es vielleicht möglich, dass ihr euch vertan habt? Denn wenn man meine Werte nimmt bekommt man ja ein größeres Volumen raus und die Volumenberechnungsformel von mir is ja nich falsch (hoffe ich)...

anonymous

11:33 Uhr, 03.05.2008

Sorry, hab mich verrechnet.

Beim Nachrechnen ist mir aufgefallen, dass meine Lösung zwar die grösste Fläche ergibt, nicht aber das grösste Volumen (Denkfehler).

Deine Lösung sollte so eigentlich stimmen.

LG

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