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Extremwertaufgabe Rechtwinkliges Dreieck max.A

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Tags: Extremwertaufgabe, gleichwinkliges Dreieck, maximaler flächeninhalt

Maria100 aktiv_icon

21:19 Uhr, 07.05.2020

Hallo,

ich habe Probleme eine Extremwertaufgabe zulösen:

Maximiere den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes

/

Umfang

c > 0

Mein Lösungsansatz:

Hauptbedingung

A = \frac{a \cdot b}{2}

Nebenbedingung=

c^{2} = a^{2} + b^{2}

b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}

Eingesetzt:

A (a) = \frac{1}{2} a \cdot \sqrt{c^{2} - a^{2}}

(Produktregel)

A' (a) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{c^{2} - a^{2}} - \frac{1}{2} a^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{c^{2} - a^{2}}}

0 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{c^{2} - a^{2}} - \frac{1}{2} a^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{c^{2} - a^{2}}}

a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} c (c > 0)

somit

a = + \frac{\sqrt{2}}{2} c

Jetzt noch das

b

ausrechnen:

b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}

b = \sqrt{c^{2} - {(\frac{\sqrt{2}}{2} c)}^{2}}

b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} c (c > 0)

somit

b = + \frac{\sqrt{2}}{2} c

Maximaler Flächeninhalt

A = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2} c) \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} c)}{2}

= \frac{1}{4} c^{2}

?

Ist das die richtige Lösung?

VG, Maria

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

12:21 Uhr, 08.05.2020

.
Maximiere den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes / Umfang

c > 0

"ich habe Probleme .."

\to

wen wundert's

\to

denn mit

c

ist wohl nicht der Umfang gemeint, sondern das,
was frau in der Schule als "Hypothenuse" kennengelernt hat.

\to

aber bleiben wir doch mal auf diesem höheren Niveau, denn in der Schule
kam schon einer namens Thales vor :

\to

Tipp: zeichne über der Strecke

c = \bar{A B}

eben dessen Thaleskreis: auf dem liegen
alle möglichen Eckpunkte

C

der rechtwinkligen Dreiecke ABC mit der Hypothenuse

c

(bekannt?)

\to

die Fläche dieser Dreiecke (mit festem

c)

kannst du dann auch so berechnen

\to F = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h

\to

und jetzt schau dir alle diese Dreiecke mal an und finde heraus:
für welchen Eckpunkt

C

wird wohl

h -

und damit dann auch

F -

am grössten? .. :-)

\to

wenn du jetzt noch herausfindest,
wie gross die Katheten und

F

dieses flächenExtremGrössten Dreiecks ABC (bei festem

c)

sind ,
dann kannst du deine Schlussfrage : "Ist das die richtige Lösung?" vermutlich sogar selbst beantworten?
ok?
.

HAL9000

13:38 Uhr, 09.05.2020

Das wäre auch zunächst meine Frage, was dieses "/ Umfang c>0" bedeutet: Soll der Flächeninhalt maximiert werden bei

a) gegebenem Umfang

u

des Dreiecks,

oder doch

b) gegebener Hypotenuse

c

?

Drück dich da mal klarer aus!

Maria100 aktiv_icon

13:32 Uhr, 10.05.2020

So lautet die offizielle Aufgabenstellung.

HAL9000

15:28 Uhr, 10.05.2020

Vielleicht habe ich ja Unrecht, aber ich nehme dir trotzdem nicht ab, dass das oben tatsächlich der ORIGINAL-Wortlaut der Aufgabenstellung sein soll. Das sagt mir die Erfahrung aus rund 15 Jahren Helfertätigkeit in diversen Foren.

rundblick aktiv_icon

15:51 Uhr, 10.05.2020

.
"Maximiere den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreieckes / Umfang

c > 0

" ..

\to

@HAL9000
- bin mit dir der Meinung, dass keine Maria uns genau diesen Text als Original einer
Aufgabenstellung verkaufen kann.

@Maria100
- es fehlt ja leider noch deine Antwort zur Frage, ob du etwas mit Thales am Hut hast ..
oder kann es sein, dass einfache Lösungsvorschläge dich sprachlos machen ?

.

Maria100 aktiv_icon

19:59 Uhr, 10.05.2020

Ja, der Satz von Thales könnte ein Lösungsweg sein, den ich in der Tat noch nicht in Betracht gezogen hatte.
Danke für deine mathematische Hilfestellung.

Dieses ist die original Aufgabe.
Werde gegebenenfalls um eine präzisiere Formulierung an der Uni bitten.
Auch dir Danke an dein Interesse mit zu helfen.

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