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Extremwertaufgabe Zündholzschachtel

Schüler

Tags: Extremwert Minimalster Materialverbrauch

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15:59 Uhr, 12.05.2013

Hi Leute, habe einige Schwierigkeiten bei dieser Extremwertaufgabe:

Eine Zündholzschachtel soll bei einem Volumen von 20cm³ eine Länge von 5 cm haben. Wie müssen Breite und Höhe gewählt werden, damit möglichst wenig Material verbraucht wird, wobei die Hülle eine doppelte Seitenwand und das Innenteil eine doppelte Vorderwand erhält.

Skizzen vom Außen und Innenteil sind hochgeladen.

Bitte um Hilfe.

Meine Ideen:

HB

= 20 = l \cdot b \cdot h

h = \frac{20}{5 \cdot b} \Rightarrow h = \frac{4}{b}

weiter komme ich nicht irgendwie, bitte um hilfe.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Ma-Ma aktiv_icon

16:51 Uhr, 12.05.2013

Hallo aCrylic,
so eine Aufgabe mit zwei Extremwertbedingungen habe ich auch noch nicht gerechnet.

Idee:
Man könnte beide Teilaufgaben einzeln rechnen und dann prüfen nach Schnittpunkt

u

/ o

. kleinsten Abstand beider Graphen

. .

.

Wollen wir das mal tun ?

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16:57 Uhr, 12.05.2013

Ja, gerne. Nur ich halte leider irgendwie keinen Ansatz momentan bereit

: (

Also Ergebnisse sind laut Skript:

A min = 89,46

cm²

h min = 1,55

b min = 2,58

l = 5

Ma-Ma aktiv_icon

17:04 Uhr, 12.05.2013

Minimale Oberfläche für die Hülle:

Zielfunktion: (laut Skizze)

A_{1} = (2 b + 3 h) \cdot l

A_{1} = 5 \cdot (2 b + 3 h)

Nebenbedingung:

V = b \cdot h \cdot l

20 = 5 \cdot

h = \frac{4}{b}

Jetzt

h

"in"

A_{1}

einsetzen, ableiten usw. usf.

Ich rechne mal parallel.

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17:10 Uhr, 12.05.2013

h

A 1 = 10 b + \frac{60}{b}

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17:13 Uhr, 12.05.2013

Ableiten, Nullsetzen,

b

ausrechnen.
Danach prüfen, das Ergebnis ein Minimum.

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17:19 Uhr, 12.05.2013

hab jetzt das raus.

A' (b) = - \frac{60}{b^{2}} + 10 = 0

b = \sqrt{6}

b = \pm

2,44cm

kommt aber nicht hin oder ?

Ma-Ma aktiv_icon

17:26 Uhr, 12.05.2013

Aussenschachtel

(min

. Oberfläche)

b = 2,45

cm habe ich auch.

Jetzt rechnen wir mal das Gleiche für die Innenschachtel.

Wo hast Du übrigens die Abwicklung Innenschachtel her ? Vorgegeben ?
Ich werd mal versuchen, daraus ein Innentei zu falten

. .

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17:29 Uhr, 12.05.2013

Jap, das ist die Komplette Aufgabe oben, aus einem Skript von unserem Lehrer.

im Ergebnis steht für

b min = 2,58

cm. Ich denke, da hat sich der Lehrer bisschen vertan.

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17:31 Uhr, 12.05.2013

Hmm, wie machen wir es jetzt bei der Innenschachtel ?

Ma-Ma aktiv_icon

17:40 Uhr, 12.05.2013

(Ich hab die Lösung inzwischen

. .

. )

Lass uns bitte die Sachen einzeln durchspielen, sonst wird es zu unübersichtlich.
Die Skizze ist längen-/größenmäßig daneben, die Angaben der Variablen stimmen aber. (Kannst ja zum Schluss selber mal eine Schachtel auseinanderfalten, dann siehst Du es besser.)

Also minimale Fläche Innenteil.

A_{2} = ... .

. ?

Dann wieder

h = \frac{4}{b}

einsetzen.

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17:43 Uhr, 12.05.2013

A 2

müsste ja sein

A 2 = (3 b + h) \cdot 3 l

Ma-Ma aktiv_icon

17:51 Uhr, 12.05.2013

Da hab ich was Anderes raus.

Die Skizze ist absolut verwirrend ! Schau nicht mehr drauf !
Greif Dir schnell eine Schachtel und falte sie auseinander.
Beachte: Doppelte Vorderwand.

Prüfe nach oder stell Dir das im Kopf vor:
Boden:

l \cdot b

Vorderwand:

b \cdot h

Seitenwand:

l \cdot h

Jetzt richtig addieren.

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17:55 Uhr, 12.05.2013

O_{_} o

bin jetzt total raus.

Was kommt für

A 2

denn raus ? Vielleicht kann ich es mit der Rechnung nachvollziehen.

Ma-Ma aktiv_icon

17:58 Uhr, 12.05.2013

Innenschachtel:

Boden:

l \cdot b

Vorderwand:

b \cdot h

Seitenwand:

l \cdot h

A_{2} =

Boden

+ 2 x

Seitenwand

+ 3 x

Vorderwand

A_{2} = (l \cdot b) + (2 \cdot l \cdot h) + 3 \cdot (b \cdot h)

Nun

h = \frac{4}{b}

einsetzen und ableiten.

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18:05 Uhr, 12.05.2013

Also

A 2 = l \cdot b + \frac{8 l}{b} + 12

Nur, warum 3 mal Vorderwand ? Ist in der aufgabenstellung nicht 2 mal Vorderwand gefragt ?

Ma-Ma aktiv_icon

18:13 Uhr, 12.05.2013

3 x

Vorderwand, weil: Vorderwand

+

Rückwand

+

nochmal Vorderwand
(Vorderwand und Rückwand sind gleich groß.)

A_{2} = l \cdot b + \frac{8 \cdot l}{b} + 12

l = 5

A_{2} = 5 b + \frac{40}{b} + 12

Das könnte man ableiten, Null setzen und

b

ausrechnen.

b =

2,83cm
Mit diesem

b

wäre die Oberfläche der Innenschachtel minimal.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Jetzt zum Finale:

A = A_{1} + A_{2}

Gesamtfläche wird minimal.
Mach mal

. .

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18:19 Uhr, 12.05.2013

A min = 78,14

cm²

habe ich raus bei

A 1 + A 2

.

Aber die Lösungen im Buch sind.

A min = 89,46

cm²

h min = 1,55

b min = 2,58

l = 5

cm

Stimmen unsere Ergebnise nicht oder die von meinem Lehrer evtl ?

Ma-Ma aktiv_icon

18:23 Uhr, 12.05.2013

Ich meinte: Addiere beide Flächen zu A.
Dann das übliche Geraffel. Alles genauso wie oben, eben nur mit A.

A = A_{1} + A_{2}

A' = . .

. ?

A' = 0

b = . .

. ?

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18:28 Uhr, 12.05.2013

Ach ja klar:

A 1 + A 2

15 b + \frac{100}{b} + 12

A' (b) = 15 - \frac{100}{b^{2}}

b = \sqrt{\frac{20}{3}}

b = 2,58

cm

Was brauchen wir noch ? hmin oder ?

Ma-Ma aktiv_icon

18:34 Uhr, 12.05.2013

Der Rest ergibt sich doch von selbst.

Du hattest oben

h = \frac{4}{b}

h = . .

. ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Desweiteren hast Du die Formeln für die einzelnen Flächen

A_{1}

und

A_{2}

.
Kannst natürlich auch gleich Deine Formel für A nehmen.
(Formel VOR dem Ableiten

!)

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18:36 Uhr, 12.05.2013

Achhh klaaaroo, jetzt hab ich es verstanden

!!

Danke dir !

Hättest du lust, gleich nochmal eine Aufgabe von mir zu kontrollieren, habe sie komplett gerechnet und ich glaube, das müsste so richtig sein, nur das Ergebnis kommt nicht so ganz hin

: (

Würde sie dir dann entweder hier reinschreiben oder in eine neue Frage, je nach dem, wie du es möchtest bzw. wenn du noch zeit hast natürlich nur.

Ma-Ma aktiv_icon

18:40 Uhr, 12.05.2013

Ich mach jetzt erstmal Abendbrot.

Neue Aufgabe = neuer Thread.
Und ...es gibt doch noch mehr Helfer hier

. .

. brauchst nicht auf mich zu warten.

Bis denne

. .

. LG Ma-Ma

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18:42 Uhr, 12.05.2013

Oki. Guten Hunger und danke nochmals

!!

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