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Extremwertaufgabe Zylinder in Kugel

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: in Kugel, maximales Volumen, Zylinder

gerdi25 aktiv_icon

11:26 Uhr, 10.08.2012

Hallo,

Kann mir jemand einen Tipp zu folgender Aufgabe geben, vielen Dank im Voraus.

In eine Kugel soll ein Zylinder einbeschrieben werden. Wie sind Radius und Höhe zu wählen, damit das Zylindervolumen maximal ist?

Ich finde einfach keinen Ansatz, die Volumenformel für Kugel und Zylinder hab ich. Leider ergebn sich aber zu viele Unbekannte, Radius Zylinder, Höhe Zylinder bzw. Differenz des Zylinderradius mit dem Kugelradius. Ich schaffe es nicht eine Zielfunktion aufzustellen.

gerdi25

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Shipwater aktiv_icon

11:40 Uhr, 10.08.2012

Die Kugel habe den Radius

R

. Weiter sollen

r, h

Radius und Höhe des Zylinders bezeichnen. Wenn du dir nun meine Skizze anschaust kannst du mit dem Satz des Pythagoras eine Beziehung zwischen

R, r

und

h

herleiten. Versuch es mal.
Maximieren willst du ja schlussendlich

V (r, h) = π \cdot r^{2} \cdot h

. Zuerst solltest du dafür allerdings

r^{2}

mithilfe der oben angesprochenen Nebenbedingung ersetzen.

gerdi25 aktiv_icon

12:17 Uhr, 10.08.2012

Danke für diese schnelle Hilfe, meine weitere Rechnung sieht dann so aus:

{(2 R)}^{2} = {(2 r)}^{2} + h^{2}

r^{2} = R^{2} - \frac{h^{2}}{4}

V (h) = Π h (R^{2} - \frac{h^{2}}{4})

V' (h) = - \frac{3}{4} Π h^{2} + Π R^{2}

V'' (h) = - \frac{3}{2} Π h

h

und

Π

positiv ist der Ausdruck negativ also Maximum

\frac{3}{4} h^{2} = R^{2}

h = \sqrt{\frac{4}{3} R^{2}}

Nochmal danke für deine Hilfe, hab ich einfach nicht gesehen. Sollte sich hier ein Fehler eingeschlichen haben, wäre ich froh über einen Hinweis.

gerdi25

Shipwater aktiv_icon

12:26 Uhr, 10.08.2012

Ich hab jetzt auf die schnelle keinen Fehler gefunden. Aber

h = \sqrt{\frac{4}{3} R^{2}}

kannst du auch als

h = \frac{2}{\sqrt{3}} R

schreiben. Oder wer's im Nenner rational mag, der möge

h = \frac{2}{3} \sqrt{3} R

schreiben.

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