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Extremwertaufgabe - quadratisches Stück Pappe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertproblem

Legia aktiv_icon

16:37 Uhr, 15.01.2011

Hallo!
Die Aufgabe ist bestimmt ganz einfach, aber trotzdem stehe ich jetzt gerade irgendwie auf'm Schlauch, also: "Aus einem quadratischen Stück Pappe der Länge a werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge

x

ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen. Für welchen Wert

x

wird das Volumen der Schachtel maximal?"
Meine Überlegungen bis hierhin:
HB:

V = l \cdot b \cdot h = l^{2} \cdot h = b^{2} \cdot h

NB:

l = b = (a - 2 \cdot x)

h = x

ZF:

V = (a - 2 \cdot x) \cdot (a - 2 \cdot x) \cdot x

= x \cdot {(a - 2 \cdot x)}^{2}

= x \cdot (a^{2} - 4 \cdot a \cdot x + 4 \cdot x^{2})

Und dann? Mit konkreten Werten ist das ja alles kein Problem, aber nun habe ich ja wieder

x

UND a als Unbekannte... und in der Zielfunktion soll man ja eigentlich sein Extremwertproblem in Abhängigkeit von nur noch einer variablen Größe ausdrücken

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michael777 aktiv_icon

17:52 Uhr, 15.01.2011

a ist hier ein fester Parameter, du kannst bei dieser Aufgabe rechnen, wie wenn a eine bestimmte Länge

z . B

10

cm wäre.

(a

ist hier also nicht gesucht, du brauchst nicht nach a auflösen)

Deine Zielfunktion ist richtig
jetzt den Extremwert berechnen, also ableiten und Ableitung nullsetzen

V_{a} (x) = a^{2} x - 4 a x^{2} + 4 x^{3}

v_{a}' (x) = a^{2} - 8 a x + 12 x^{2}

v_{a}' (x) = 0 \Rightarrow 12 x^{2} - 8 a x + a^{2} = 0

x^{2} - \frac{2}{3} a x + \frac{1}{12} a^{2} = 0

x_{1,2} = \frac{1}{3} a \pm \sqrt{(\frac{a^{2}}{9} - \frac{a^{2}}{12})}

x_{1,2} = \frac{1}{3} a \pm \frac{1}{6} a

x = \frac{1}{2} a

für diesen Wert ist das Volumen=0, also minimal, daher keine Lösung des Problems

x = \frac{1}{6} a

für diesen Wert wird das Volumen maximal

Legia aktiv_icon

14:49 Uhr, 16.01.2011

Danke! Antwort hat mir sehr gut geholfen!
:-)

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