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Extremwertaufgabe(Sektorwinkel)

Universität / Fachhochschule

Tags: Extremwertaufgabe, Sektorwinkel

inga22 aktiv_icon

18:21 Uhr, 06.07.2009

hey hiermit kann ich ja mal gar nichts anfangen. Hab da in der Schule anscheinend geschlafen :-) Hat jemand ne idee?

Bei der folgenden Extremwertaufgabe dürfen Sie ausnahmsweise auch die Teile
Ihres Schulwissens benutzen, die noch nicht in der Vorlesung behandelt wurden:
Aus einem kreisrunden Stück Papier soll ein Sektor so herausgeschnitten werden,
dass daraus ein Kreiskegel möglichst großen Volumens geformt werden kann.
Bestimmen Sie den dafür nötigen Sektorwinkel.

lg inga

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

00:23 Uhr, 07.07.2009

Papier und Schere schnappen und losbasteln.

Wenn Du aus dem Kreis runden Papier zum Beispiel gar nichts rausschneidest, bekommst Du einen kegel mit grösstmöglichen Durchmesser, aber minimaler Höhe. Das ist nicht optimal. Den Kreis komplett wegschneiden ist auch nicht so der Bringer - man hätte nix in der Hand - auch kein Volumen.

Welcher mathematische Zusammenhang ist zwischen Kegelbodenumfang und Kreissegmentausschnittswinkel erkennbar?

Welcher Zusammenhang ergibt sich in bezug auf die Höhe des Kegels?

Ich würde die Aufgabe noch dahingehend ergänzen: man darf auch Erkenntnisse verwenden, die man noch nie gelernt hat, sondern durch Nachdenken und Probieren gewinnt.

inga22 aktiv_icon

01:48 Uhr, 07.07.2009

Hey danke erstmal für deine denkanstöße nur weiß ich trotzdem nich so recht wie ich jetzt die aufgabe lösen soll. Ist vielleicht

n

bischen kurzfristig aber das Blatt wurde dieses mal erst Samstag online gestellt. Brauche die Lösung halt bis morgen früh. Wäre echt super nett wenn du mir da weiter helfen könntest oder vielleicht jemand anderes :-)

lg inga

pepe1 aktiv_icon

11:24 Uhr, 07.07.2009

1 .) V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

2 .) 2 \cdot π \cdot R \cdot α \cdot (

360°

)^{- 1} = 2 \cdot π \cdot r;

mit

R :

Mantellinie;

r :

Grundkreisradius;

α :

Öffnungswinkel

3:-)

r^{2} + h^{2} = R^{2}

1)

und

3) \Rightarrow V = \frac{π}{3} \cdot r^{2} \cdot \sqrt{R^{2} - r^{2}} =

\frac{π}{3} \cdot r^{2} \cdot \sqrt{R^{2} \cdot (1 - \frac{r^{2}}{R^{2}})} = \frac{π}{3} \cdot \frac{r^{2}}{R^{2}} \cdot R^{3} \cdot \sqrt{(1 - \frac{r^{2}}{R^{2}})}

\Rightarrow (

mit

2)

und

x := α \cdot (

360°

)^{- 1}

α

]

0°; 360°[

V (x) = \frac{π}{3} \cdot R^{3} \cdot x^{2} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}; x \in] 0; 1 [; R

ist konstant

(4) :

V´(x)

= \frac{π}{3} \cdot R^{3} \cdot x \cdot (2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}})

\Rightarrow [x_{1} = 0];

sowie:

2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0

2 \cdot (1 - x^{2}) - x^{3} = 0

x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 = 0

also:

x_{M}

ungef.

= 0,8 (

ggf. genauer mit Newton - Verfahren )

Extremungsnachweis:
V´(x_M)

= 0

und V´(x)

< 0 \in U (x_{M}) [U;

Umgebung

]

[

folgt aus

(4) :

rechts. Umgebung: 1.Faktor:

x > 0

und 2. Faktor:

(2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}) < 0;

in linksseitiger Umgebung umgekehrt

]

lim_{x \to 0} V (x) = lim_{x \to 1} V (x) = 0

\Rightarrow x_{M}

ist globales Max. in

] 0; 1 [.

x_{M}

ungef.=

0,8;

also

α_{M}

ungef.= 360°*x_M = 288°;

d . h : β :=

360°-288°= 72°

[β :

Mittelpunktswinkel des Sektors, der ausgeschnitten wird

]

V_{M}; = V (x_{M})

ungef.=

\frac{π}{3} \cdot R^{3} \cdot {0,8}^{2} \cdot \sqrt{1 - {0,8}^{2}} = R^{3} \cdot ... . (

Zahlenwert ggf. noch ermitteln)

MfG

Edddi aktiv_icon

12:31 Uhr, 07.07.2009

Dein Kegel kann alle möglichen Höhen und Radien haben, was immer gleich bleibt ist die Länge der Mantellinie, diese ist durch deinen Kreisradius

r

definiert.

Daraus resultiert ein Zusammenhang zw. Höhe des Kegels und Radius seiner Grundfläche über den Pythagoras. (Nebenbedingung)

r^{2} = h^{2} + r_{K}^{2}

bzw.

r^{2} - h^{2} = r_{K}^{2}

Das Volumen des Kegels ist:

V_{K} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h_{k} = \frac{1}{3} \cdot Π \cdot r_{K}^{2} \cdot h_{K}

jetzt die Nebenbedingung eingesetzt liefert:

V_{K} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot Π \cdot r_{K}^{2} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot Π \cdot (r^{2} - h^{2}) \cdot h = \frac{1}{3} \cdot Π \cdot r^{2} \cdot h - \frac{1}{3} \cdot Π \cdot h^{3}

r

ist ein Konstante, und interressiert uns gaaarnicht! Wir ermitteln jetzt Extremstelle über Ableitung von

h :

V_{K}' = \frac{1}{3} \cdot Π \cdot r^{2} - Π \cdot h^{2} = 0

\frac{1}{3} \cdot Π \cdot r^{2} = Π \cdot h^{2}

\frac{1}{3} \cdot r^{2} = h^{2}

\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot r = h

jetzt können wir

r_{K}

berechnen über:

r_{K}^{2} = r^{2} - h^{2} = r^{2} - {(\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot r)}^{2} = r^{2} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \cdot r^{2}

r_{K} = r \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}

Der Umfang unserer Kegelgrundfläche ergibt sich somit zu:

U_{K} = 2 \cdot Π \cdot r_{K} = 2 \cdot Π \cdot r \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}

...Genau dieser Umfang ist ja der Rest unseres Kreises, von dem wir den Sektor rausgeschnitten haben. Es gilt einfache Verhältnisgleichung:

\frac{U_{K}}{α} = \frac{2 \cdot Π \cdot r \cdot}{2 \cdot Π} = r

α = \frac{U_{K}}{r} = \frac{2 \cdot Π \cdot r \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}{r} = 2 \cdot Π \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}

α

ist der Sektorwinkel unseres Reststückes (aus dem wir den Kegel machen), der Sektorwinkel den wir rausschneiden ist der Rest bis zum Vollkreis, also:

Winkel

= 2 \cdot Π - α = 2 \cdot Π - 2 \cdot Π \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 2 \cdot Π \cdot (1 - \sqrt{\frac{2}{3}})

~~66,06°

;-)

pepe1 aktiv_icon

13:42 Uhr, 07.07.2009

Man sollte wohl mit noch (mindestens) einer weiteren Stelle rechnen:

Statt also

x_{M}

(ungef.)=

0,8

zu setzen, rechne mit

x_{M}

(ungef.)

= 0,83

( höhere Genauigkeit mit Newton-Verfahren natürlich möglich.):

dann ist Beta

= 0,17 \cdot

360° = 61,2°, also ein mit dem eben vorgeführten Weg (im Rahmen der Rechengenauigkeit ) übereinstimmendes Ergebnis.

MfG

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