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Extremwertaufgaben

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Komme einfach nicht weiter

Lacky0610 aktiv_icon

21:13 Uhr, 02.07.2013

Die Aufgabe lautet:
Von einer rechteckigen Glasplatte mit der Seitenlänge a und

b

ist an einer Ecke ein Stück von der Form eines rechtwinkligen Dreieck abgesprungen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großer Fläche geschnitten werden.
(a

= 1 m; b =

60cm;

c =

10cm;

d =

4cm)

Ich habe bis jetzt nur die Zielfunktion

A = L (

Länge)

\cdot B

(Breite) und die Nebenbedingung

B =

60cm - (4cm/10cm).

Ich weiß nicht was ich jetzt machen muss oder ob das überhaupt richtig ist.
Ich hab ein bild mit reingestellt, wie das Rechteck usw. aussieht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Ma-Ma aktiv_icon

21:25 Uhr, 02.07.2013

Schau mal hier:
http//www.onlinemathe.de/forum/komplexe-extremwertaufgabe

Lacky0610 aktiv_icon

21:34 Uhr, 02.07.2013

Aber wie bekomme ich denn eine Funktion daraus oder wie soll ich denn weiter machen, der link hat mir leider nicht weiter geholfen

Ma-Ma aktiv_icon

21:37 Uhr, 02.07.2013

Zeige mal Dein Bild, bisher nichts zu sehen.
Was ist

c

und

d

Lacky0610 aktiv_icon

21:45 Uhr, 02.07.2013

ok hier ist das Bild

Ma-Ma aktiv_icon

21:59 Uhr, 02.07.2013

Sehr schön. Jetzt sehen wir die HAuptbedingung, die Nebenbedingung und das Intervall.

Hauptbedingung hast Du richtig.

A = L \cdot B

A = x \cdot y

Leider ist uns

x

und

y

noch unbekannt.
Um einen Extremwert zu berechnen, können wir die 1. und 2. Ableitung benutzen. (Das weisst Du aber bereits.)

2 Variablen

(x

und

y)

sind zu viel, also sollten wir

y

anders ausdrücken.

In Deiner Skizze schauen wir uns die abgebrochene Ecke an.
Dafür benötigen wir eine Geradengleichung.

y = ...

. ?

Nutze 2 Punkte zur Aufstellung der Geradengleichung.

Fragen ?

Lacky0610 aktiv_icon

22:04 Uhr, 02.07.2013

Meine Geradengleichung wäre dann

y = - 0,6 x + 11,4

stimmts?
Und was müsste ich jetzt machen?

Ma-Ma aktiv_icon

22:15 Uhr, 02.07.2013

Mmmmmhh, kann nicht stimmen:

n

ist Verschiebung auf der y-Achse.

n = 11,4

passt nicht.
Die Platte ist

60

cm hoch.

n

muss deutlich darüber liegen.

Hast Du bedacht, dass

a = 1 m = 100

cm sind ?

Ich nehme mal 2 Punkte an:

A (90 | 60)

B (100 | 56)

Jetzt rechne ich auch gleich.

Anschließend Platte, Ecke und Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Lacky0610 aktiv_icon

22:19 Uhr, 02.07.2013

Wenn ich das rechteck in ein koordinaten system einzeichne, nehme ich die maße

1 : 10

das heißt für 60cm nehme ich im koordinaten system 6cm .
kann sein das statt

11,4 - - \to 114

rauskommen muss

Ma-Ma aktiv_icon

22:25 Uhr, 02.07.2013

Nix da mit raten.

m

passt übrigens auch nicht.

Frage: Kannst Du meine Punkte A und

B

logisch nachvollziehen ?

Jetzt Sprung in die 9. Klasse: 2 Punkte und nun Geradengleichung aufstellen.
Wie gehst Du vor ?

- - - - - - - -

Nachtrag: Maßstab

1 : 10

passt !

Lacky0610 aktiv_icon

22:28 Uhr, 02.07.2013

y =

mx+n

m =

im bruch

y 2 - y 1

x 2 - x 1

m =

ergebnis von oben

dann für

x

und

y

ein punkt einsetzen und dann

n

ausrechnen

Lacky0610 aktiv_icon

22:32 Uhr, 02.07.2013

P 1 (90, 60) P 2 (100, 54)

m = 54 - 60 = - 6

100 - 90 = 10

- \frac{6}{10} = - 0,6

y = - 06 x + n

60 = - 0,6 (90) + n

60 = - 54 + n

danach

+ 54

114 = n

y = - 0,6 + 114

Lacky0610 aktiv_icon

22:36 Uhr, 02.07.2013

Ich hab mein Fehler gefunden! statt

- 0,6

muss

- 0,4

raus

ALSO

y = - 0,4 x + 96

Ma-Ma aktiv_icon

22:39 Uhr, 02.07.2013

Okay. Du meinst:

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

m = \frac{60 - 56}{90 - 100} = \frac{4}{- 10}

- - - - - - - - - - - - - - -

Du hast inzwischen geantwortet.
Du arbeitest nicht präzise, sondern schnell und unsauber.
Nennt sich "Quick and dirty". Bringt in der Mathematik nichts !

P_{1} (90 | 60)

P_{2} (100 | y)

Prüfe Dein

y!

P_{2} (100 |

? )

Danach widmen wir uns Deiner unpassenden Steigungsformel

. .

Ma-Ma aktiv_icon

22:40 Uhr, 02.07.2013

Okidoki, das passt:

y = - 0,4 x + 96

Lacky0610 aktiv_icon

22:41 Uhr, 02.07.2013

War ein Zahlendreher drin sorry
und nun was kommt jetzt nach der geradengleichung?

Ma-Ma aktiv_icon

22:47 Uhr, 02.07.2013

Du zeichnest Dir ein Koordinatensystem mit der Gerade

y = - 0,4 x + 96

.
Darein packst Du auch Deine Platte mit der abgebrochenen Ecke.
(Ecke ist identisch mit Geradengleichung.)

Neue Platte:

A = x \cdot y

Neuer Eckpunkt muss auf der Geradengleichung liegen !

A = x \cdot (- 0,4 x + 96)

A = - 0,4 x^{2} + 96 x

Extremwert

\to 1

. Ableitung !

A' = ... ... . .

. ?

Notwendige Bedingung:

f' (x) = 0

A' = 0

Lacky0610 aktiv_icon

22:50 Uhr, 02.07.2013

A´(x)

= - 0,8 x

A´(x)

= 0

x = 0

Ma-Ma aktiv_icon

22:53 Uhr, 02.07.2013

Nein.

A = - 0,4 x^{2} + 96 x

A' = - 0,8 x + 96

0 = - 0,8 x + 96

x = ... . .

?

Liegt der Extremwert

x

innerhalb der Platte ?

Lacky0610 aktiv_icon

22:56 Uhr, 02.07.2013

x = 120

aber

x

ist größer a also geht das dann doch garnicht?

Ma-Ma aktiv_icon

23:04 Uhr, 02.07.2013

Dein Ergebnis ist vollkommen richtig !
Da

x = 120

ausserhalb der Platte liegt, musst Du jetzt die Randwerte prüfen.

Ein Randwert ist bei

P_{1} (90 | 100)

und der andere bei

P_{2} (100 | 56)

.
Bei welchem Schnitt erreicht man die größte Fläche ?

Lacky0610 aktiv_icon

23:05 Uhr, 02.07.2013

Ich verstehe das mit dem Schnitt nicht, also was soll ich jetzt genau machen?

Ma-Ma aktiv_icon

23:15 Uhr, 02.07.2013

Anders formuliert:
Eine Gerade lautet:

y = - 0,4 x + 96

Das größtmögliche Rechteck darunter erhält man bei

x = 120

.
(Hast Du gerade ausgerechnet.)

Bei Deiner Aufgabe: Abgebrochene Ecke

\to x

-Bereich geht von

90

bis

100

.
Randwerte:

x = 90

und

100

P_{1} (90 | 60)

und

P_{2} (100 | 56)

Berechne die Fläche bei Schnitt durch die jeweiligen Punkte.

P_{1} (90 | 60)

A = 90 \cdot 60 = 540

cm^2

P_{2} (100 | 56)

A = ... .

?

Welcher Schnitt hat die größere Fläche ?

Lacky0610 aktiv_icon

23:20 Uhr, 02.07.2013

P 2

mit

A =

560cm²

Ma-Ma aktiv_icon

23:25 Uhr, 02.07.2013

Ja, hab ich auch raus.
Die

max

. Fläche DIESER abgebrochenen Platte erhält man, wenn man durch

P_{2}

schneidet.
Also

a =

100cm und

b =

56cm.

Lacky0610 aktiv_icon

23:26 Uhr, 02.07.2013

Das war dann alles oder kommt noch was?

Lacky0610 aktiv_icon

23:29 Uhr, 02.07.2013

Aber eine frage habe ich noch wie kommt man auf die 560cm²

100 \cdot 56

sind

5600

und nicht

560

???

Ma-Ma aktiv_icon

23:29 Uhr, 02.07.2013

Das war alles.

Wäre die Platte breiter,

z . B

2 m

breit, so wäre der Schnitt bei

x = 1,2 m

.

In Deinem Beispiel ist die Platte jedoch schmaler und es bleibt beim Schnitt bei

P_{2}

.

LG Ma-Ma

Lacky0610 aktiv_icon

23:32 Uhr, 02.07.2013

Dankeschön Ma-Ma
du hast mir sehr sehr gut geholfen

LG Lacky0610

Ma-Ma aktiv_icon

23:36 Uhr, 02.07.2013

Bitte, bitte .. gern geschehen. Du hast auch super mitgearbeitet !

Falls Du später noch ein ähnliches Beispiel rechnen so google mal unter "Platte abgebrochene Ecke Extremwert".
Da findest Du noch mehr Beispiele !

LG Ma-Ma

Nachtrag: ooops, ich hab ne NULL vergessen: Muss natürlich heißen:

56 \cdot 100 = 5600

cm^2

1104498

1104444

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