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Extremwertaufgaben

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: minimal

susu77 aktiv_icon

13:11 Uhr, 21.01.2012

Hallo Ihr Lieben,

nachdem wir das maximum berechnet haben, ist jetzt das minimum an der Reihe.

Die Aufgabe ist so Abstrakt, dass ich diese irgendwie noch nicht ganz verstehe. Es wäre super, wenn mir jemand erklären könnte, was da verlangt ist und wie ich vorzugehen habe.

Aufgabe: Eingesperrtes Rechteck

Zwischen dem Koordinatenursprung und dem Graphen der Funktion

f : f (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}

ist wie abgebildet ein achsenparalleles Rechteck eingesperrt.
Eine Ecke ist der Ursprung, die gegenüberliegende Ecke liegt auf dem Graphen von

f

.
Wie müssen die Abmessungen des Rechtecks gewählt werden, damit

a)

der Flächeninhalt des Rechtecks minimal wird
und

b)

der Umfang des Rechteckes minimal wird?

Ich wäre sehr dankbar wenn Ihr mir helfen könntet.

Ps. Versuche seit

30 min

euch die Zeichnung die ich auf paint gemacht habe, anzuhängen aber es funktioniert nicht.. ich hoffe die aufgabe ist auch ohne das koordinatensystem lösbar.

Lieben Gruß,

susu

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

larsen aktiv_icon

13:35 Uhr, 21.01.2012

a)

A (x)

soll der zu minimierende flaecheninhalt sein.
der flaecheninhalt eines rechtecks berechnet sich aus "breite mal hoehe".
unser rechteck ist "x" breit und "f(x)" hoch.
damit ist

A (x) = x \cdot f (x) = x \cdot (1 + \frac{1}{x^{2}}) = x + \frac{1}{x}, x \neq 0

.
dies ist deine zielfunktion, diese musst du nun auf minima untersuchen.

Atlantik aktiv_icon

17:02 Uhr, 22.01.2012

b)

U (x)

ist der Umfang, der minimal werden soll.

Der Umfang eines Rechtecks ist

2 a + 2 b,

wo bei auch hier

a = x

und

b = f (x)

ist.

mfG

Atlantik

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susu77 aktiv_icon

21:55 Uhr, 22.01.2012

Das bedeutet, dass

A (x) = x \cdot f (x)

meine HAUPTBEDINGUNG IST. Richtig?

Dann setze ich meine mir gegebene fkt. in

f (x)

ein. ok. Soweit kann ich folgen.

Dann klammere ich aus.. Aber was ist meine Nebenbedungung?

Die brauche ich doch um die Ableitungen zu bilden und die Minima zu untersuchen... Oder?

: - (

Atlantik aktiv_icon

21:59 Uhr, 22.01.2012

Mit

A (x) = x \cdot f (x)

hast du schon deine Zielfunktion wie es larsen beschrieben hat.
Genau so ist es dann auch beim Umfang, wie ich es aufgezeichnet habe.

mfG

Atlantik

susu77 aktiv_icon

22:24 Uhr, 22.01.2012

ok.

hab ich verstanden. Er hat schon abgeleitet.

mit

x \neq 0

wäre aber jetzt klar, dass es kein minima gibt.. oder?

f (x)

muss ja

> 0

sein, damit es ein minimum gibt.

ich glaube ich verstehe die ganze aufgabe nicht.

Könnt Ihr mir einfach den Lösungsweg erklären. Wie ich die gesamte Aufgabe einfach löse?

Danke.

Susu

susu77 aktiv_icon

23:09 Uhr, 22.01.2012

Habs nicht verstanden.

Danke trotzdem für die Hilfe!

mfG

Susu

Atlantik aktiv_icon

08:36 Uhr, 23.01.2012

a)

Nein , larsen hat noch nicht abgeleitet. Er hat die Zielfunktion hergeleitet und aufgeschrieben:

A (x) = x \cdot (1 + \frac{1}{x^{2}}) = x + \frac{1}{x},

mit

x \neq 0,

da man nicht durch 0 dividieren darf.

A ´

(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}

A ´

(x) = 0

1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 | \cdot x^{2}

x^{2} = 1 | \sqrt{}

x = \pm \sqrt{1}

x_{1} = 1

x_{2} = - 1

A ´´

(x) = \frac{2}{x^{3}}

A ´´

(1) = \frac{2}{1^{3}} = 2 > 0

also Minimum, also gilt

x = 1,

da die Fläche des Rechtecks minimal werden soll.

A ´´

(- 1) = \frac{2}{{(- 1)}^{3}} = - 2 < 0

also Maximum

f (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}

f (1) = 1 + \frac{1}{1^{2}} = 2

Die Fläche ist somit

A = 2

Die Voraussetzungen für den Umfang habe ich schon aufgeschrieben.

mfG

Atlantik

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susu77 aktiv_icon

12:44 Uhr, 23.01.2012

Oh suuper! Danke! Jetzt kann ich es nachvollziehen.

Danke Atlantik! :-))

mfG

Susu

susu77 aktiv_icon

12:49 Uhr, 23.01.2012

Könntest Du drüber schauen, ob ich

b)

richtig gerechnet habe?

So sieht es aus:

HB:

U = 2 x + 2 y

NB:

f (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}

ZF:

U (x) = 2 x + 2 (1 + \frac{1}{x^{2}}) = 2 x + 2 + \frac{1}{2} x^{2}

U' (x) = 2 + \frac{1}{4} x

U'' (x) = \frac{1}{x}

Ist das bi dahin richtig?

LG

Susu

Underfaker aktiv_icon

12:52 Uhr, 23.01.2012

2 \cdot \frac{1}{x^{2}} \neq \frac{1}{2} x^{2}

sondern

= \frac{2}{x^{2}} = 2 \cdot \frac{1}{x^{2}}

susu77 aktiv_icon

12:57 Uhr, 23.01.2012

? Meinst Du das was ich ausgeklammert habe?

susu77 aktiv_icon

12:59 Uhr, 23.01.2012

Achso! Ich muss den Zähler mal nehmen! Hab irgednwo gelesen, dass ich den Nenner mal nehmen muss! Dann würde sich auch das ausklammern bei der Aufgabe

a)

erklören... da habe ich dann auch statt

x^{2}

im bruch nur noch

x

stehen..

Underfaker aktiv_icon

12:59 Uhr, 23.01.2012

Nein, das was du ausmultipliziert hast. (Wo hast du ausgeklammert?!)

ZF:

U (x) = 2 x + 2 (1 + \frac{1}{x^{2}}) = 2 x + 2 + \frac{2}{x^{2}}

Vielleicht meintest du auch das, deine sonstiger Rechenweg war richtig, entsprechend musst du diesen kleinen Fehler beheben.

Underfaker aktiv_icon

13:00 Uhr, 23.01.2012

Ah ok, alles klar.

susu77 aktiv_icon

13:00 Uhr, 23.01.2012

Super ich danke Dir! :-)

LG

Underfaker aktiv_icon

13:01 Uhr, 23.01.2012

Kein Problem. :-)

susu77 aktiv_icon

13:11 Uhr, 23.01.2012

Noch ne kleine Verständnis Frage bez. der Brüche:

Wie leite ich einen Bruch genau ab? Ich weiß dass bei der Variable die Potenz um eins vergrößet wird. Was ist aber mit der Natürlichen Zahl wie in dem Beispiel