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Extremwertaufgaben, Kartonschachtel

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben

Eisi28081992 aktiv_icon

20:02 Uhr, 26.01.2010

Hallo!

Ich muss bis Donnerstag unbedingt dieses Bsp. lösen und hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Folgende Angabe:

Aus einem rechteckigen Karton mit den Seitenlängen

a) l = 40

cm
und

b = 25

b) l = 8

dm und

b = 5

dm ist durch Ausschneiden von
Quadraten der Seitenlänge

x

an den Ecken und anschließendes Aufbiegen
der Seitenwände eine quaderförmige, oben offene Schachtel
herzustellen.
Wie groß muss

x

gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel
maximal wird? Wie groß ist dieses? Wie groß ist dabei der Abfall (das
ist die Fläche der ausgeschnittenen Quadrate) absolut und relativ zur
ursprünglichen Kartonfläche?

Anbei sende ich eine Skizze mit!

DANKE DANKE DANKE IM VORAUS

Mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

20:08 Uhr, 26.01.2010

Zuerst einmal stelle ich die Volumensformel für die Schachtel auf, diese ist

V (a, b, c) = a \cdot b \cdot c

also Länge mal Breite mal Höhe
Dann kommen die sogenannten Nebenbedingungen:

a = 40 - 2 x

b = 25 - 2 x

c = x

Wenn du das alles jetzt bei der Volumensfunktion ersetzt erhältst du die Zielfunktion:

V (x) = x \cdot (40 - 2 x) \cdot (25 - 2 x)

Das Volumen in Abhängigkeit einer Variablen! Davon musst du nun den Hochpunkt bestimmen.

Shipwater

Eisi28081992 aktiv_icon

20:42 Uhr, 26.01.2010

Danke! Den Ansatz verstehe ich gut!

Doch was mache ich nun mit dieser Formel?

V(x)=x⋅(40-2x)⋅(25-2x)

Ausrechnen? oder

x

herausheben?

Mfg

Shipwater aktiv_icon

20:44 Uhr, 26.01.2010

Wie berechnet man denn den Hochpunkt einer Funktion? Ein Hochpunkt kann nur da sein, wo eine waagerechte Tangente ist, wo also gilt

f' (x) = 0

Eisi28081992 aktiv_icon

20:52 Uhr, 26.01.2010

OK! Bei uns in Österreich sagen wir dazu: Mann muss die erste Ableitung gleich 0 setzen meinen Sie das? Wenn ja ist mir das Beispiel klar: also muss ich V(x)=x⋅(40-2x)⋅(25-2x) gleich 0 setzen?

MFg

Eisi28081992 aktiv_icon

21:08 Uhr, 26.01.2010

Ich weiß nicht genau was der nächste Schritt ist!

Muss ich die NB in die HB einsetzen und die erste Ableitung davon dann gleich 0 setzen? Ich bin etwas verwirrt!

Mit freundlichen Grüßen

Shipwater aktiv_icon

21:27 Uhr, 26.01.2010

Wir haben doch schon die Zielfunktion aufgestellt, welche nur noch von einer Variablen abhängig ist:

V (x) = x \cdot (40 - 2 x) \cdot (25 - 2 x)

Das musst du jetzt ableiten und anschließend gleich Null setzen.

Gruß Shipwater

Eisi28081992 aktiv_icon

21:32 Uhr, 26.01.2010

OK danke!

Schönen Abend wünsch ich noch!

Shipwater aktiv_icon

21:35 Uhr, 26.01.2010

Ich kann dir ja mal sagen was ich als Ergebnis erhalte:

x = 5

Shipwater

Eisi28081992 aktiv_icon

08:11 Uhr, 27.01.2010

Wenn ich HB=

(40 - 2 \cdot x) \cdot (25 - 2 \cdot x) \cdot x

ableite ergibt das 4 oder?

Könntest du mir vl deinen Lösungsweg schicken? Wäre sehr freundlich ich hab immer noch leichte Probleme mit dem Bsp.

Mfg

Shipwater aktiv_icon

16:21 Uhr, 27.01.2010

Am besten multiplizierst du erst aus:

V (x) = x \cdot (40 - 2 x) \cdot (25 - 2 x) = x \cdot (1000 - 130 x + 4 x^{2}) = 1000 x - 130 x^{2} + 4 x^{3}

Dann kannst du nach der Summenregel Summand für Summand ableiten:

V' (x) = 1000 - 260 x + 12 x^{2}

\to V' (x) = 0

führt zu

x_{1} = 5

und zu

x_{2} = \frac{50}{3}

x_{2}

ist von der Aufgabenstellung her gesehen Schwachsinn und fällt somit weg. Bleibt noch zu zeigen, dass bei

x_{1} = 5

ein Hochpunkt vorliegt. Dafür bilden wir die zweite Ableitung:

V'' (x) = - 260 + 24 x

V'' (5) = - 260 + 24 \cdot 5 = - 140 < 0 \to

Hochpunkt

Gruß Shipwater

Eisi28081992 aktiv_icon

18:07 Uhr, 27.01.2010

Wie kommst du von V'(x)=1000-260*x+12*x² auf

x =

5??

Mfg

Shipwater aktiv_icon

20:40 Uhr, 27.01.2010

Nullsetzen und dann quadratische Gleichung lösen. (Stoff der 9.Klasse;-))

Eisi28081992 aktiv_icon

21:57 Uhr, 27.01.2010

Ja das weiß ich, jedoch ist die 9te Klasse schon eine weile her ;-)

Könntest du mir bitte sagen wie es geht?? BITTE

Mfg

Shipwater aktiv_icon

22:02 Uhr, 27.01.2010

1000 - 260 \cdot x + 12 \cdot x^{2} = 0

Hierrauf die

a b c - F o r m e l

anwenden.
Oder:

\frac{250}{3} - \frac{65}{3} x + x^{2} = 0

x^{2} - \frac{65}{3} x + \frac{250}{3} = 0

Jetzt kannst du die PQ-formel wenden.

Eisi28081992 aktiv_icon

07:55 Uhr, 29.01.2010

Habe das Bsp jetzt verstanden ;-)

Danke nochmal!

Mfg

Shipwater aktiv_icon

15:02 Uhr, 29.01.2010

Gern geschehen.

Ruglud aktiv_icon

00:17 Uhr, 12.03.2018

Lieber Shipwater,

8 Jahre nach der Verfassung deiner Erklärungen, habe ich mir extra einen Account machen müssen, um meinen vollsten Respekt für deine geduldigen Antworten auszudrücken. Auch wenn der Typ ein bisschen ein Dödl war, hast du ihm trotzdem geholfen und jetzt auch mir, da sich die Mathebeispiele anscheinend nicht geändert haben

\land

.

Ich wünsch dir auf jeden Fall noch ein schönes Leben und keep up the good work,

Lg
ein beeindruckter Besucher des Internets

Shipwater aktiv_icon

23:00 Uhr, 14.03.2018

Danke für dein Feedback, wie schnell doch die Zeit vergeht.

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