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Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben, Nebenbedingung, Spulenkern

1Mathematik1 aktiv_icon

16:46 Uhr, 27.05.2010

Wie kommt man auf diese Zielfunktion?

(Aufgabe von Thomas Unkelbach)

{

http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/a/ep/epindex.html}

- \to

unten rechts: Spulenkern (Physik)

Ein oben offenes Gefäß bestehe aus dem Mantel eines Zylinders (Höhe:

h,

Radius:

r)

mit angesetzter Halbkugel (Radius:

r)

. Die gesamte Oberfläche des Gefäßes habe den Flächeninhalt 400cm 2 .
Bestimmen Sie den Radius

r

so, dass das Volumen

V

des Körpers maximal wird, und geben Sie das maximale Volumen an.

Hauptbedingung: V(r;h)=πr2h+(2/3)πr3 sollmaximalwerden
Nebenbedingungen: 2πrh

+

2πr

2 = 400

Zielfunktion:

V (r) = (\frac{400}{2})

⋅

r

− (π/3) ⋅r3mit

D r = [0;

(10wurzelvon2)/(wurzelvon

π)]

Lösung: Das absolute Maximum des Volumens liegt bei

r 1 =

((10wurzel von 2)/(wurzelvonpi)) und beträgt Vmax = ((4000wurzelvon

2)

geteilt (3wurzelvon

π))

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:07 Uhr, 27.05.2010

HB:

V (r; h) = π r^{2} h + \frac{2}{3} π r^{3} \to max

NB:

2 π r h + 2 π r^{2} = 400

Löse die NB nach

h

auf:

2 π r h + 2 π r^{2} = 400 \Leftrightarrow 2 π r h = 400 - 2 π r^{2} \Leftrightarrow h = \frac{400 - 2 π r^{2}}{2 π r} = \frac{200}{π r} - r

Ersetze in HB:

V (r) = π r^{2} (\frac{200}{π r} - r) + \frac{2}{3} π r^{3} = 200 r - π r^{3} + \frac{2}{3} π r^{3} = 200 r - \frac{1}{3} π r^{3}

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17:10 Uhr, 27.05.2010

okay also muss ich die nebenbedingung nach einer variablen auflösen.. dann muss ich dieses ergebnis in die hauptbedingung einsetzen für die jeweige variable und daraus resultiert die zielfunktion.. ich versuch es mal.. hab es eben mal versucht aber bin an irgendeinem punkt hängen geblieben.

danke

: x

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17:13 Uhr, 27.05.2010

Joah so muss man das machen.

Shipwater

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17:15 Uhr, 27.05.2010

ähm bei

(\frac{400 - 2 π r^{2}}{2 π r}) = h

kann man ja kürzen, wie du es gemacht hast aber ich weiß auch nicht wenn ich das kürze hab ich : erst mal die

200

durch 2 kürzen oben

200

unten verschwindet das

π .

. dann das

π r

kürzen dann fällt die 2 weg von oben also

200 - π r^{2} .

.
hmm...

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17:20 Uhr, 27.05.2010

\frac{400 - 2 π r^{2}}{2 π r} = h

\frac{400}{2 π r} - \frac{2 π r^{2}}{2 π r} = h

\frac{200}{π r} - r = h

Klar?

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17:23 Uhr, 27.05.2010

Jetzt hab ich es verstanden.. ahh. Das war eine doofe Frage von mir.
Dankeschön

: x

Ich versuchs mal weiter.. wenn ich weitere Fragen habe, füge ich sie hinzu. :-)

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17:25 Uhr, 27.05.2010

Bedenke: Aus Summen kürzen nur die Dummen ;-)

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17:31 Uhr, 27.05.2010

Zielfunktion:

V (r) = π \cdot r^{2} (\frac{200}{π r} - r) + (\frac{2}{3}) \cdot π \cdot r^{3}

sieht etwas anders aus als in den Lösungen aber sie ist richtig oder?

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17:37 Uhr, 27.05.2010

nächstes problem ableiten..

Erste Ableitung:

V' (r) = π \cdot 2 r \cdot ((\frac{200}{π}) \cdot - 2 r - r) + (\frac{2}{3}) \cdot π \cdot 3 \cdot r^{2}

unter dem bruchstrich stand ja

π

und

r

und das

r

muss ja abgeleitet werden.. und wenn man es nicht mehr unter dem bruchstrich haben möchte steht dann ja da:

r^{- 2} .

. und das

- 2

wandert vor das

r,

also

- 2 r^{1} = - 2 r

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17:39 Uhr, 27.05.2010

Ich hab die Zielfunktion doch im ersten Posting schon vereinfacht, so dass man leicht ableiten kann.

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17:42 Uhr, 27.05.2010

oie, ob ich dadrauf kommen würde

\frac{:}{}

das das

r

auf einma hinter der

200

steht.. und dann noch auf die letzte vereinfachung mit

(\frac{1}{3})

und so..

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17:46 Uhr, 27.05.2010

Mittelstufenmathematik.

π r^{2} (\frac{200}{π r} - r) + \frac{2}{3} π r^{3} = π r^{2} \cdot \frac{200}{π r} - π r^{2} \cdot r + \frac{2}{3} π r^{3}

Ich habe nur ausmultipliziert nach dem Distributivgesetz

200 r - π r^{3} + \frac{2}{3} π r^{3}

Jetzt hab ich ein bisschen gekürzt.

200 r - \frac{1}{3} π r^{3}

Ich habe

- π r^{3} + \frac{2}{3} π r^{3}

- \frac{1}{3} π r^{3}

zusammengefasst. Denn

- 1 + \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}

Shipwater

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18:02 Uhr, 27.05.2010

V' (r) = 200 - (\frac{1}{3}) \cdot π \cdot 3 r^{2}

oder

V' (r) = 200 - 1 π r^{2}

?

wandert die 2 nur vor das

r

oder wird sie mit der

(\frac{1}{3})

multipliziert?

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18:06 Uhr, 27.05.2010

Hab die 3 vor das

r

hingeschrieben

: s

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18:07 Uhr, 27.05.2010

200 - π r^{2} = 0

200 = π r^{2}

\frac{200}{π} = r^{2}

. .

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18:09 Uhr, 27.05.2010

Wohin gehörtn das?

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18:11 Uhr, 27.05.2010

Na Nullstellen der ersten Ableitung.

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18:17 Uhr, 27.05.2010

ahhh die 3 kommt also doch nach ganz vorne XD ok gut

jetzt hab ich meine antwort davor gelöscht

: (

mensch !

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18:29 Uhr, 27.05.2010

r = 7,9788

nun setzt man den wert in die nebenbedingung?

das war glaub ich

(\frac{200}{π r}) - r = h

ergebnis:

9,1216 ... . x 10^{- 5}

da stimmt was nicht ..

x . x

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18:32 Uhr, 27.05.2010

Du musst halt mit den exakten Werten rechnen dann kommt

h = 0

raus.

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18:33 Uhr, 27.05.2010

ok.. höhe

0 ⊙ o

? radius

7,9788

das ist ziemlich komisch

⊙ O

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18:34 Uhr, 27.05.2010

Nö die Kugel hat bei gegebener Fläche das größte Volumen, passt doch.

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18:37 Uhr, 27.05.2010

Das

max

. Volumen

: 1063,8460 . .

?

Es stimmt mit den lösungen überein

=)

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18:40 Uhr, 27.05.2010

Ja müsste stimmen.

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18:43 Uhr, 27.05.2010

Bei dieser Aufgabe ist ja die erste Ableitung

= 0

die notwenige bedingung.. aber was ist mit der hinreichenden bedingung? das 1 ableitung

= 0 &

zweite ableitung ungleich 0 ist ?
zweite ableitung ist :

V'' (r) = 200 - 2 π r

V'' (7,9788 . .) = 200 - 2 π r > 0 \Rightarrow

Minimum. ?

ich dachte man sucht nach einem maximum ..

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18:44 Uhr, 27.05.2010

Die

200

fallen beim Ableiten weg...

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18:46 Uhr, 27.05.2010

Mist übersehn.. :-D) Dankeschön für deine Hilfe

=)

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18:47 Uhr, 27.05.2010

Gern geschehen.

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18:50 Uhr, 27.05.2010

Hat mir gut geholfen :-)

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18:56 Uhr, 27.05.2010

Freut mich :-)

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19:05 Uhr, 27.05.2010

Weils doch so schön ist: hab ich hier noch eine aufgabe gefunden.. zum selben Thema..
(sind nur Übungen)

{

http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj5/Aufgaben/Glasscheibe2/Aufgabe.htm}

Wieder von thomas unkelback die glasscheibe 2

Die Fläche wäre Doch

A = L \cdot B

und Die Nebenbedingung:

B = 1,5 x + 50

und

L = 110 - x

bei

B = 1,5 x + 50

bin ich mir nicht so sicher ?

wie kommt man auf die Länge B?

Das mit dem Rechnen lassen wir.

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20:16 Uhr, 27.05.2010

Nebenbedingung ist, dass der rechte, obere Punkt auf der Geraden liegt.
Wenn du den Ursprung links in die Ecke setzt, dann sind

P (90 | 80)

und

Q (110 | 50)

Punkte deiner Geraden. Mit der Zweipunkteform erhält man für die Geradengleichung:

\frac{y - 80}{x - 90} = \frac{50 - 80}{110 - 90} = \frac{- 30}{20} = - \frac{3}{2}

\Rightarrow y = - \frac{3}{2} x + 215

Also

A = x \cdot y = x \cdot (- \frac{3}{2} x + 215) = - \frac{3}{2} x^{2} + 215 x

mit

x \in [90; 110]

A' = - 3 x + 215 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{215}{3} = 71, \bar{6}

Gehört aber nicht zum Defintionsbereich also muss man jetzt noch die Randpunkte betrachten.

A (90) = - \frac{3}{2} \cdot 90^{2} + 215 \cdot 90 = 7200

A (110) = - \frac{3}{2} \cdot 110^{2} + 215 \cdot 110 = 5500

Also für

x = 90

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