Extremwerte-Randwerte

Hallo!

Wenn du

${\displaystyle \underset{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{+}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{3}}$

betrachtest, dann konkurrieren hier zwei Funktionen:

1. t , denn lim (t-->0+) t = 0

2. ln(2t) , denn lim (t--> 0+) ln(2t) = -unendlich

Die Frage ist also welche Funktion überwiegt, also welche "schneller" gegen ihren Grenzwert geht. Mit der Info weiss man, dass t hier überwiegt, d.h.

${\displaystyle \underset{\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to 0^{+}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\frac{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{3}=0}$

Also hat man einen Grenzwert bei (0/0) gefunden...

Den anderen analog...

Das + und das - soll ausdrückten, dass man sich rechts bzw. von links der 0 bzw. der 0,5 annähert.

Die beiden Grenzwerte sind die Randwerte, also die y-Werte an den Grenzen 0 bzw. 0,5.

Diese Funktion ist für ]0;0,5[ negativ, dass heißt die Randwerte sind beide absolute Maxima, da die Funktion im Definitionsbereich nirgendwo sonst größer gleich 0 ist.

Das mit dem t= 0,5*e versteh ich nicht, da 0,5*e nicht im Definitionsbereich liegt...

Vermutlich ist t = 1/(2*e) gemeint... Das könnte allerdings nur ein absolutes Minimum sein...

Mit dem zusätzlichen Minus ist es nun so:

Die Funktion V(t) ist (im Def.-Bereich) überall, außer an den Randstellen (0 und 0,5) größer null. --> Das müsstest du vielleicht noch beweisen.

Das heißt sofort, dass die Funktion für t = 0 und t = 0,5 jeweils ein absolutes Minimum hat, weil die Werte ja nirgendwo kleiner sind.

Bei dieser Funktion sind die Grenzwerte für V(t)= - ... und V'(t) = + ... die gleichen (das ist nicht immer so), weil sie jeweils 0 sind. Deshalb kommt es hier nur darauf an was die Funktion sonst- also nicht an den Randstellen- macht.

Für V(t) ist zu zeigen, dass sie stets größer null sind (-> Damit werden die Randstellen zu absoluten Minimas.)

Für V'(t) wäre zu zeigen, dass sie stets kleiner null sind (-> Damit würden die Randstellen zu absoluten Maximas.)

Um das entprechende für V(t) zu beweisen (=zeigen) gibt es mehrere Möglichkeiten, z.B:

1. Über Nullstellen

2. Über lokales Maximum

Versuch es am besten mit beiden Methoden einmal um rauszufinden was einfacher geht... ^^

V(t) gegen 0+ gibt 0.

V(t) gegen 0,5- gibt auch 0.

Die Grenzwerte, (die absolute Minimas sind) haben eigentlich nicht wirklich etwas mit dem lokalen Maximum zu tun.

Ok, der Beweis, dass es sich um absolute Minimas handelt könnte z.B so gehen:

Man versucht die Nullstellen zu berechnen und stellt fest, dass es keine gibt außer den beiden Grenzwerten, die man ja schon bestimmt hat. Dass heißt, dass der Graph der Funktion die t-Achse im Def-Bereich nur an den Stellen 0 und 0,5 schneidet. Ist die Funktion in ]0;0,5[ stetig (usw... bla bla bla und das ist sie natürlich) dann liegen alle Punkte der Funktion entweder im posiven Halbraum oder im Negativen.

Jetzt muss man nur noch irgendeinen t-Wert (aus Definitionsbereich und natürlich nicht 0 oder 0,5) in die Funktion einsetzten und gucken ob was positives rauskommt.

Da heißt dann, dass die Funktion im Def-Bereich überall positiv ist außer an den Stellen 0 und 0,5 (hier ist sie 0). Also ist die Funktion bei 0 und 0,5 am kleinsten, denn 0 ist kleiner als jede positive Zahl. Es sind also absolute Minimas.

Das mit dem lokalen Minimum geht nur über Ableitung...

Das kommt darauf an was der y-Wert bei x=2 ist, und ab es noch weitere Minimas gibt.

Das absolute Minimum ist einfach die Stelle einer Funktion im Definitionsbereich an der die Funktion den kleinsten y-Wert überhaupt hat. (Nur wenn dieser kleinste y-Wert mehrmal vorkommt- so wie bei V(x) - kann es auch mehrere absolute Minimas geben.)

Ein lokales Minimum zeichnet sich nur dadurch aus, dass der y-Wert vor dem Minimum und der y-Wert nach dem Minimum beide größer sind als der y-Wert des Minimum selbst.

Es kann deshalb auch vorkommen, dass der y-Wert eines lokalen Minimums größer ist als der eines lokalen Maximums oder andersherum.

Was nicht geht ist das ein lokales Minimum kleiner ist als ein absolutes Minimum und ein lokales Maximum kann nicht größer sein als ein absolutes.

Übrigens kann man absolute Extremas nicht immer über die Ableitung finden, wie auch hier.

Es ist glaube ich eine gute Idee, wenn du dir die Funktion einmal plottest, dann kannst du viel leichter erkennen was gemeint ist... ich glaube das Forum hat einen integriert ansonten:

http//www.fooplot.com/?lang=de

Kann ich empfehlen...